n⁵-n=n(n⁴-1)=n(n²+1)(n²-1)=n(n²+1)(n+1)(n-1)
(n-1), n, (n+1) – три последовательных числа, среди которых есть либо два чётных и одно нечётное, либо одно чётное и два нечётных, поэтому их произведение всегда является чётным.
Пусть n=5х, тогда (n-1)·n·(n+1) кратно 5;
если n=5х+1, то (n-1)=5х(n-1)·n·(n+1) кратно 5;
если n=5х+2, то (n²+1)=(5х+2)²+1=25х²+20х+4+1=25х²+20х+5=5(5х²+4х+1) кратно 5 и (n-1)·n·(n+1)(n²+1) кратно 5;
если n=5х+3, то (n²+1)=(5х+3)²+1=25х²+30х+9+1=25х²+30х+10=5(5х²+6х+2) кратно 5 и (n-1)·n·(n+1)(n²+1) кратно 5;
если n=5х+4, то n+1=5х+4+1=5х+5=5(х+1) кратно 5
(n-1)n(n+1)(n²+1) кратно 5.
Т.е, (n-1)n(n+1)(n²+1) кратно 5 при любом значении n.
Тогда если (n-1)n(n+1)(n²+1) кратно 2 и 5, то оно кратно 10.
Чтобы число делилось на 3, нужно, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Обозначив звёздочку за х, получим:
4+6+х+4+5 делится на 3
Будем пошагово перебирать все возможные цифры, подставляя их вместо икса.
1) 4+6+0+4+5 = 19. На 3 не делится ⇒ 0 не подходит
2) 4+6+1+4+5 = 20. На 3 не делится ⇒ 1 не подходит
3) 4+6+2+4+5 = 21. На 3 делится ⇒ 2 подходит
4) 4+6+3+4+5 = 22. На 3 не делится ⇒ 3 не подходит
5) 4+6+4+4+5 = 23. На 3 не делится ⇒ 4 не подходит
6) 4+6+5+4+5 = 24. На 3 делится ⇒ 5 подходит
7) 4+6+6+4+5 = 25. На 3 не делится ⇒ 6 не подходит
8) 4+6+7+4+5 = 26. На 3 не делится ⇒ 7 не подходит
9) 4+6+8+4+5 = 27. На 3 делится ⇒ 8 подходит
10) 4+6+9+4+5 = 28. На 3 не делится ⇒ 9 не подходит
Итак, мы делаем вывод: вместо звёздочки можно поставить цифры 2, 5, 8.
