1. Уравнение окружности в общем виде:
(x - x₀)² + (y - y₀)² = R²
где (х₀; у₀) - координаты центра,
R - радиус окружности.
Центр М(- 3; 2), R = 2.
Уравнение окружности:
(x + 3)² + (y - 2)² = 4
Чтобы проверить, проходит ли окружность через точку, надо ее координаты подставить в уравнение окружности. Если получим верное равенство - проходит.
D(- 3; 4)
(- 3 + 3)² + (4 - 2)² = 4
0 + 4 = 4 - верно, проходит.
2.
С(- 3; 1), D (- 5; 9)
Уравнение прямой в общем виде, если х₁ ≠ х₂:
y = kx + b
Подставив координаты точек, получим систему уравнений:
Вычтем из первого уравнения второе:
Уравнение прямой:
y = - 4x - 11
или
4x + y + 11 = 0
3. Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, надо решить систему уравнений:
(2; - 5)
4. 4х + 3у - 24 = 0
а) координаты точки пересечения с Ох: у = 0
4x - 24 = 0
4x = 24
x = 6
A(6; 0)
координаты точки пересечения с Оy: x = 0
3y - 24 = 0
3y = 24
y = 8
B (0; 8)
б) М(х; у) - середина отрезка AB.
A(6; 0), B (0; 8)
Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат.
M(3; 4)
в) формула длины отрезка с концами в точках А(x₁; y₁) и В(х₂; у₂):
A(6; 0), B (0; 8)
AB = 10
5. у = х + 4 и у = - 2х + 1
а)
O(- 1; 3)
б) (x + 1)² + (y - 3)² = R²
B(2; - 1)
Подставим координаты точки В в уравнение и найдем радиус:
(2 + 1)² + (- 1 - 3)² = R²
9 + 16 = R²
R² = 25
(x + 1)² + (y - 3)² = 25
в) y = kx + b, y = 2x + 5
Если прямые параллельны, по коэффициенты k равны, значит
k = 2
y = 2x + b
Прямая проходит через точку В(2; - 1), подставим ее координаты:
- 1 = 2 · 2 + b
b = - 5
y = 2x - 5
С НАСТУПАЮЩИМ НОВЫМ ГОДОМ!вопросы в коменты писать и я отвечу integral 1/(sqrt(9-x^2) (x^2+16)) dx
For the integrand 1/(sqrt(9-x^2) (x^2+16)), Сделаем подстановку x = 3sin(u), тогда dx = 3cos(u)du. Отсюда sqrt(9-x^2) = sqrt(9-9sin^2(u)) = 3cos(u), u =arcsin(x/3), получаем:
= integral du/(9 sin^2(u)+16)
1/(9 sin^2(u)+16) числитель и знаменатель разделим на cos^2(u):
integral (du/cos^2(u))/(9 tg^2(u)+16/cos^2(u))
Т.к. 1/cos^2(u) = tan^2(u)+1:
integral (du/cos^2(u))/(25tg^2(u)+16)
Сделаем подстановку s = tg(u) тогда ds = du/cos^2(u) :
= integral ds/(25s^2+16)
= integral ds/(16 [(25s^2)/16+1])
Выносим константу:
= 1/16 integral ds/[(25s^2)/16+1]
Подстановка p = (5 s)/4 и dp = 5/4 ds:
= 1/20 integral dp/(p^2+1)
integral ds/(p^2+1) = arctg(p):
= 1/20 arctg(p)+C
Возвращаенмся к заменам: для p = (5 s)/4:
= 1/20 arctg((5 s)/4)+C;
для s = tg(u):
= 1/20 arctg((5 tg(u))/4)+C;
для u = arcsin(x/3):
1/20 arctg((5 tg(arcsin(x/3)))/4)+C
tg(arcsin(x/3)=x/(3 sqrt(1-x^2/9))
Answer:
= 1/20 arctg((5x)/[4 sqrt(9-x^2)])+C
