Контрольная работа по геометрии №2. «Метод координат». 9 класс

I вариант

1. Концы отрезка АВ имеют координаты А(2; -2), В(-2; 2). Найдите координаты середины этого отрезка.

2. Даны точки А(2; 7), В(-2; 7).

а) Найдите координаты вектора (АВ) ⃗,

б) Найдите длину вектора (АВ) ⃗.

3. Уравнение окружности имеет вид: (х+5)^2+ (у-1)^(2 )=16

а) Постройте эту окружность;

б) Лежит ли точка А(-5; -3) на данной окружности?

4. Даны точки М(-2; -1), N(-4; 3). Составьте уравнение окружности, для которой MN – диаметр окружности.

5. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(0;3), В(1; -4), С(5;2). Напишите уравнение прямой АВ.

Пошаговое объяснение:

Докажите, что если a ≥ 0, b ≥ 0, то b(a² + 1) + a(b² + 1) ≥ 4ab. При

каких a и b имеет место равенство?

b(a² + 1) + a(b² + 1) ≥ 4ab

ba² + b + ab² + a - 4ab ≥ 0

(ba² + b - 2ab) + (ab² + a - 2ab) ≥ 0

b(a² - 2a + 1) + a(b² - 2b + 1) ≥ 0

b(a - 1)² + a(b - 1)² ≥ 0

первое слагаемое ≥ 0 поскольку b>=0 по условию

и (a - 1)² ≥ 0 как квадрат числа

второе слагаемое ≥ 0 поскольку a>=0 по условию

и (b - 1)² ≥ 0 как квадрат числа

сумма двух неотрицательных чисел ≥ 0

неравенство доказано

b(a - 1)² + a(b - 1)² ≥ 0

равенство нулю возможно если каждое из неотрицательных

слагаемых одновременно равны нулю

a=b=0

или a=b=1

Написать не могу, попробую объяснить словами.
Необходимо сравнить площади этих фигур. Площадь квадрата равна a^2/2(a-диагональ). Получим, что площадь квадратной пиццы Sк=225/2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Диагонали этого ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника, т.к. это ромб, то больший острый угол такого треугольника будет равен 120/2=60, а противолежащий ему катет будет равен 18/2=9, тогда 2й катет равен 9/tg(60) = 3 корня из 3, а значит бОльшая диагональ равно 6 корней из 3, значит площадь этого ромба Sк=(18*6 корней из 3)/2=54/3. При сравнении получается, что у квадратной пиццы площадь больше, значит Саше нужно выбрать квадратную