Найти такое число z, что вектор (8;-8;8) перпендикулярен вектору (-5;9;z).

Разложим на простые множители 72

72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3

Разложим на простые множители 120

120 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5

Выберем одинаковые простые множители в обоих числах.

2 , 2 , 2 , 3

Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ

НОД (72; 120) = 2 • 2 • 2 • 3 = 24

792=2*2*2*3*3*11

1188=2*2*3*3*3*11

НОД  (792;1188) = 2*2*3*3*11=396

НОК  (792;1188) = 2*2*2*3*3*11*3=2376

Разложим на простые множители 396

396 = 2 • 2 • 3 • 3 • 11

Разложим на простые множители 924

924 = 2 • 2 • 3 • 7 • 11

Выберем одинаковые простые множители в обоих числах.

2 , 2 , 3 , 11

Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ

НОД (396; 924) = 2 • 2 • 3 • 11 = 132

НОД (116;111) = 1

111 = 3×37

116 = 2×2×29

Подробнее - на -

Через сравнения: 
18=1(mod 7); 
18^4=1(mod 7); 
52=1(mod 7); 
52^3=1(mod 7); 
86=1(mod 7); 
86^3=1(mod 7); 
14=-3(mod 7). 
т. о. 18^4+52^3+86^3+14=1+1+1-3(mod 7)=0(mod 7) <=> 18^4+52^3+86^3+14 |7. 

20=1(mod 19); 
20^3=1(mod 19); 
58=1(mod 19); 
58^4=1(mod 19); 
77=1(mod 19); 
77^2=1(mod 19); 
16=-3(mod 19); 
т. о 20^3+58^4+77^2+16=1+1+1-3(mod 19)=0(mod 19) <=> 20^3+58^4+77^2+16 |19 

или непосредственно: 
(17+1)^4+(51+1)^3+(85+1)^3+14=17A+51B+85C+1+1+1+(17-3)=17(A+3B+5C+1) |17 

(19+1)^3+(57+1)^4+(76+1)^2+(19-3)=19A+57B+76C+1+1+1+(19-3)=19(A+3B+4C+1) |19.