1. Расстояние между пунктами А и В равно: S км;
2. Скорость первого велосипедиста: V1 км/час;
3. Скорость второго велосипедиста: V2 км/час;
4. До встречи первый велосипедист проехал расстояние: S1 км;
5. Второй велосипедист проехал расстояние до встречи: S2 км;
6. Соотношение: S1 / S2 = V1 * Tb / V2 * Tb = V1 / V2;
7. Время движения первого велосипедиста после встречи: T1 = 2 часа 24 мин = 2,4 часа;
8. Время движения второго велосипедиста после встречи: T2 = 1 час 40 мин = 5/3 часа;
9. Вычислим время встречи велосипедистов:
S1 / S2 = (V1 * Tb) / (V1 * T1) = (V2 * T2) / (V2 * Tb);
Tb / T1 = T2 / Tb;
Tb² = T1 * T2;
Tb = sqrt(T1 * T2) = sqrt(2,4 * 5/3) = sqrt(4) = 2 часа;
10. Скорости велосипедистов:
V1 = S2 / T1 км/час;
V2 = S1 / T2 км/час;
11. Составляем уравнение движения велосипедистов до места встречи:
S2 - S1 = 6;
S2 = (S1 + 6) км;
Tb = S1 / V1 = S2 / V2;
S1 / (S2 / T1) = S2 / (S1 / T2);
S1 / ((S1 + 6) / 2,4) = (S1 + 6) / (S1 / (5/3);
2,4 * S1 / (S1 + 6) = 5 * (S1 + 6) / (3 * S1);
7,2 * S1² = 5 * (S1 + 6)²;
2,2 * S1² - 60 * S1 - 180 = 0;
S11,2 = (60 +- sqrt(60² + 4 * 2,2 * 180) / (2 * 2,2) = (60 +- 72) / 4,4;
Отрицательный корень не имеет смысла;
S1 = (60 + 72) / 4,4 = 132 / 4,4 = 30 км.
ответ: место встречи находится на расстоянии 30 от пункта А
№1
2sin²(x) + 3cos(x) - 3 = 0
2 • (1 - cos²(x)) + 3cos(x) - 3 = 0
2 - 2cos²(x) + 3cos(x) - 3 = 0
-2cos²(x) + 3cos(x) - 1 = 0
• Пусть cos(x) = t, тогда cos²(x) = t², причём:
| t | ≤ 1
• Получаем:
-2t² + 3t - 1 = 0 / • (-1)
2t² - 3t + 1 = 0
(a = 2, b = -3, c = 1)
D = b² - 4ac
D = (-3)² - 4 • 2 • 1 = 9 - 8 = 1
t₁,₂ = (-b ± √D)/2a
t₁ = (-(-3) + 1)/2 • 2 = 4/4 = 1
t₂ = (-(-3) - 1)/2 • 2 = 2/4 = ½
• Оба наших значения «t» удовлетворяют условие: | t | ≤ 1, поэтому получаем систему:
[ cos(x) = 1
[ cos(x) = ½
[ x₁ = 2πn, n ∈ ℤ
[ x₂ = ± π/3 + 2πn, n ∈ ℤ
x₁ = 2πn, n ∈ ℤ
x₂ = ± π/3 + 2πn, n ∈ ℤ
№2
2cos²(x) - sin(x) - 1 = 0
2 • (1 - sin²(x)) - sin(x) - 1 = 0
2 - 2sin²(x) - sin(x) - 1 = 0
-2sin²(x) - sin(x) + 1 = 0
• Пусть sin(x) = t, тогда sin²(x) = t², причём:
| t | ≤ 1
• Получаем:
-2t² - t + 1 = 0 / • (-1)
2t² + t - 1 = 0
(a = 2, b = 1, c = -1)
D = b² - 4ac
D = 1² - 4 • 2 • (-1) = 1 + 8 = 9 = 3²
t₁,₂ = (-b ± √D)/2a
t₁ = (-1 + 3)/2 • 2 = 2/4 = ½
t₂ = (-1 - 3)/2 • 2 = -4/4 = -1
• Оба наших значения «t» удовлетворяют условие: | t | ≤ 1, поэтому получаем систему:
[ sin(x) = -1
[ sin(x) = ½
[ x₁ = - π/2 + 2πn, n ∈ ℤ
[ x₂ = (-1)ⁿ • π/6 + πn, n ∈ ℤ
x₁ = - π/2 + 2πn, n ∈ ℤ
x₂ = (-1)ⁿ • π/6 + πn, n ∈ ℤ
