Прямая проходит через точки A(–6, –3) и B(3, 2). Требуется записать уравнение данной прямой в виде:1) уравнения прямой, проходящей через две заданные точки,
2) уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении,
3) уравнения с угловым коэффициентом,

Пусть вторая труба заполняет бассейн за х часов, а первая за (х+4) часов.
За 1 час каждая из них заполняет такую часть бассейна:
первая: (1/(х+4)),
вторая: (1/х).
По условию задачи:
7*(1/(х+4)) + 2*(1/(х+4))+(1/х)) = 1.
Решаем это уравнение:
(7/(х+4)) + 2*((х+х+4)/(х*(х+4)) = 1.
Приводим к общему знаменателю:
7х+4х+8 = х(х+4).
Получаем квадратное уравнение:
х² - 7х - 8 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-7)^2-4*1*(-8)=49-4*(-8)=49-(-4*8)=49-(-32)=49+32=81;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√81-(-7))/(2*1)=(9-(-7))/2=(9+7)/2=16/2=8;x_2=(-√81-(-7))/(2*1)=(-9-(-7))/2=(-9+7)/2=-2/2=-1  этот отрицательный корень отбрасываем.

ответ: первая труба может наполнить бассейн за 8+4 = 12 часов, а вторая ха 8 часов.

Пошаговое объяснение:

№3

Дано: ΔАВС, АА₁, ВВ₁ - биссектрисы. АА₁ ∩ ВВ₁ = М.

          ∠АМВ = 128°.

Найти: ∠МСВ₁.

Из ΔАМВ: ∠МАВ + ∠МВА = 180° - 128° = 52° (сумма углов треугольника 180°)

∠МАВ и ∠МВА половины углов ВАС и АВС. Значит,

∠ВАС + ∠АВС = 52° · 2 = 104°

Тогда, ∠АСВ = 180° - (∠ВАС + ∠АВС) = 180° - 104° = 76°.

М - точка пересечения биссектрис, значит, СМ - биссектриса угла АСВ.

Тогда ∠МСВ₁ = ∠АСВ/2  = 76°/2 = 38°

ответ: 38°

№4.

Дано: ΔMKN, MK = 17, MD = DN, D∈MN, CD⊥MN, C∈MK, CN = 10

Найти: СК.

CD - серединный перпендикуляр к MN. Все точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от его концов. Значит, MC = CN = 10.

CK = MK - MC = 17 - 10 = 7

ответ: 7

№7

Дано: ΔMEN, EF и MK - медианы, EF ⊥ MK, EF ∩ MK = О.

          EF = 18, MK = 15.

Найти: ON.

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

OF = EF/3 = 18/3 = 6,  OE = 2OF = 12

OK = MK/3 = 15/3 = 5, ON = 2OK = 10

ΔЕОК: ∠ЕОК = 90°, по теореме Пифагора

          ЕК = √(ОК² + OE²) = √(144 + 25) = √169 = 13

          cos∠OEK = OE/EK = 12/13

EN = 2EK = 26

ΔOEN по теореме косинусов:

ON² = OE² + EN² - 2OE·EN·cos∠OEN

ON² = 144 + 676 - 2 · 12 · 26 · 12/13 = 820 - 576 = 244

ON = 2√61

ответ: 2√61

№8

Дано: ΔАВС, О - точка пересечения серединных перпендикуляров к AC  и ВС.

        ∠АОВ = 120°, АB = 20

Найти: ОС.

Т.к. О - точка пересечения серединных перпендикуляров, О - центр окружности, описанной около ΔАВС. Тогда ОА = ОВ = ОС как радиусы.

ΔАОВ:

пусть ОА = ОВ = х, тогда по теореме косинусов:

АВ² = OA² + OB² - 2OA·OB·cos120°

400 = x² + x² + 2x²·1/2

400 = 2x² + x²

3x² = 400

x² = 400/3

x = 20/√3 = 20√3/3

ответ: ОС = 20√3