Какое наибольшее количество целых чисел можно записать в строку так, чтобы сумма любых 49 идущих подряд чисел была чётна, а сумма любых 50 идущих подряд чисел была нечётна?

1. Если третье число не является натуральным, то оно равно нулю, так как это цифра, а список цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - где, все, кроме нуля - натуральные числа.
2. Тогда число принимает вид X*1000+Y*100+Z (XY0Z). При это известно, что последняя цифра в два раза больше первой, т.е. Z=2X, тогда число можно записать и так: X*1000+Y*100+2X.
3. По условию вторая цифра на единицу меньше последней: Y=Z-1=2X-1.
Тогда в записи числа имеем всего одну неизвестную Х:
Х*1000+(2Х-1)*100+2Х.
4. Отсюда следует, что наибольшая в числе цифра 2Х>2X-1>Х. Т.к. сумма всех цифр числа есть число чётное (по условию), то или все цифры этого числа - целые числа, или одна из цифр - чётное число, а две другие - нечётные. 2Х-1 - нечётное число и 2Х - чётное число, значит, Х - нечётное число.
5. Сумма всех цифр - двузначное число, значит, она больше либо равна десяти. Следовательно X=1 (1102) и Х=2 (2304) можно отбросить.
6. Стоит учитывать, что 2Х<=8, значит X<=4.
Тогда или Х=3, или Х=4. Но из пункта 4 следует, что Х - нечётное число, следовательно Х=3.
7. Выполним проверку:
Х=3
3*1000+5*100+6=3506.
3+5+6=14
Искомое число - 3506.

Пусть даны четыре отличных от нуля числа  a,  b,  c  и  d  таких, что  a  :   b  =  c  :   d. тогда равенство  a  :   b  =  c  :   d  называется  пропорцией. т.е.  пропорция(лат.  proportio  — соразмерность, выравненность частей) — равенство двух отношений.  числа  a  и  d  называются  крайними членами  пропорции, а числаb  и  c  —  средними членами.  пишут, a : b = с : d или  читают: «а так относится к b, как с относится к d»  из свойств обыкновенных дробей следует, что справедливы следующие утверждения: пропорцию  a  :   b  =  c  :   d  можно записать в виде a/b = c/d.крайние члены пропорции можно поменять местами: если  a/b = c/d, то d/b = c/a.средние члены пропорции можно поменять местами: если a/b = c/d, то  a/c = b/d.произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов: если a/b = c/d, то ad =  bc (основное свойство пропорции). например: если 20: 5 = 16: 4, то 20•4 = 5•16, т.е. 80=80.