Задача 1 Заключительный этап Юниорской Олимпиады по математике
Определите все тройки простых чисел (р,а,r) такие, что
р" + q =r.
Задача 2
Пусть Tn - сумма первых п натуральных чисел, т.е.
Т. = 1 + 2 + ... +п
Для некоторых натуральных чисел тип имеет место равенство
2Tm = Т.
Докажите, что число Тzm-n является квадратом натурального числа.
Задача 3
Все натуральные числа раскрасили в два цвета: белый и черный. Известно, что сумма
любых двух различных белых чисел также является белым числом. Кроме того, сумма
любых двух черных чисел также является черным числом. Сколько различных раскрасок,
удовлетворяющих этому условию, существует?
Задача 4
На стороне BC треугольника АВС отмечена точка Т так, что AT – биссектриса угла 2ВАС.
На лучe AT отмечена точка S такая, что AS = ст. Докажите, что AS = CS тогда и
только тогда, когда AT = ТВ.
Задача 5
У Махмута есть 1000 белых кубиков со стороной 1. Он хочет сложить из них всех какой-
нибудь параллелепипед, полностью белый снаружи. Его братишка Мустафа нечаянно
покрасил некоторые грани в черный цвет. Какое наименьшее число граней должен был
покрасить Мустафа, если известно, что Махмут уже не может сложить желаемый
параллелепипед?
пожаоуйста очень