Дано выражение A = xy + yz + zх, где x, y, z – целые числа. Если число х увеличить на 1, а числа у их уменьшить на 2,
то значение выражения А не изменится. Докажите, что число
(-1). A – квадрат целого числа

Давайте проанализируем данное выражение A = xy + yz + zx, где x, y, z - целые числа.

Если число x увеличить на 1, а числа y и z уменьшить на 2, то новое выражение будет следующим:

A' = (x+1)(y-2) + (y-2)(z-2) + (z-2)(x+1)

Раскроем скобки и упростим выражение:

A' = xy - 2x + y - 4 - 2y + 4 + zx - 2z + zx + x + z - 2

A' = xy + yz + zx - 2x - 2y - 2z + x + z - 2

A' = xy + yz + zx - x - y - z - 2

Мы должны доказать, что A' = (-1)A – квадрат целого числа. Подставим выражение A' и A:

(-1)A – квадрат целого числа = (-1)(xy + yz + zx) - 1

Раскроем скобку:

(-1)A – квадрат целого числа = -xy - yz - zx - 1

Сравним полученное выражение с выражением A':

-xy - yz - zx - 1 = xy + yz + zx - x - y - z - 2

Расставим знаки так, чтобы переменные с одинаковыми степенями сокращались:

-xy - yz - zx + y + z + 2 = xy + yz + zx - x - y - z - 2

Объединим слагаемые с одинаковыми переменными:

y + z + 2 = -x - y - z - 2

Добавим x к обеим частям уравнения:

x + y + z + 2 = -y - z - 2

Упростим:

x + y + z + 2 = -(y + z + 2)

Заметим, что левая часть и правая часть уравнения равны. Это значит, что уравнение выполняется для любых значений x, y и z.

Таким образом, мы доказали, что число (-1)A является квадратом целого числа.