1.Пусть O - центр шара. Он совпадает с центром параллелепипеда. AC1 - диагональ, она равна sqrt(16+36+144)=14. O - середина AC1, тогда радиус, AO, равен половине диагонали и равен 7.
2.Пусть SABCD - пирамида, SH - ее высота, O - центр шара. Треугольник AOH прямоугольный с гипотенузой AO, тогда AO=SO>OH, SO=AO=5, OH=4. По теореме Пифагора получаем, что AH=3. AH - половина диагонали квадрата основания, тогда сторона квадрата равна 3sqrt(2), а его площадь равна 18. Объем найдем по формуле V=1/3*S*H=1/3*9*18=54.
3.В равностороннем цилиндре диаметр основания равен высоте цилиндра. Осевое сечение - квадрат. Сфера, вписанная в такой цилиндр, имеет диаметр, равный высоте цилиндра. Высота цилиндра равна стороне осевого сечения. Так как диагональ осевого сечения равна a, а это сечение - квадрат, то сторона равна a*sqrt(2)/2. Тогда радиус сферы равен a*sqrt(2)/4. Площадь поверхности найдем по формуле S=4*pi*r^2=4*pi*a/8=pi*a/2.
4.Треугольник в основании прямоугольный, так как 6^2+8^2=100=10^2. Центр шара равноудален от всех 6 вершин призмы. Пусть I - проекция центра шара O на нижнее основание. Тогда I - центр описанного вокруг треугольника основания круга, так как точка I равноудалена от всех вершин основания. Так как треугольник прямоугольный, I лежит на гипотенузе и делит ее пополам. Тогда центр шара должен находиться на прямой, проходящей через I. и перпендикулярной плоскости основания. Теперь рассмотрим четырехугольник, вершины которого - вершины гипотенуз треугольников верхнего и нижнего оснований. Так как призма прямая, это прямоугольник, а так как центр шара одинаково удален от всех его вершин, он лежит на прямой, перпендикулярной плоскости этого прямоугольника, и проходящей через его центр. Теперь рассмотрим две прямые, на которых может лежать центр шара. Они пересекаются в одной точке - центре прямоугольника, указанного выше. Радиус шара равен половине диагонали этого прямоугольника. Так как его стороны равны 10 и 24, диагональ равна 26, а половина диагонали 13.
Если есть вопросы по решениям, пишите в личку.
