Пошаговое объяснение:
А( n ) = 36ⁿ + 10 · 3ⁿ кратне 11 при будь-якому невід'ємному цілому n .
Доведемо методом математичної індукції .
1) n = 1 ; А( 1 ) = 36¹ + 10 · 3¹ = 66 ділиться на 11 ;
2) Припустимо , що A( k ) = 36^k + 10 · 3^k кратне 11 і доведемо , що А(k+1) кратне 11 . Маємо
А(k+1) = 36^( k + 1 ) + 10 * 3^( k + 1 ) = 36^k * 36 + 10 * 3^k * 3 =
= ( 36^k + 10 · 3^k )* 36 - 33 * 10 * 3^k ;
перший вираз кратний 11 ( за умовою ) , другий вираз кратний 11 , бо
його множник кратний 11 . Отже , різниця А(k+1) кратна 11 . Тому за
принципом математичної індукції даний вираз кратний 11 .
Пусть A1 — центр вписанной окружности ∆ SBC, B1 — центр вписанной окружности ∆ SAC, AA1 пересекается с A, A1, B1, B лежат в одной плоскости, значит прямые AB1 и BA1 пересекаются на ребре SC. Пусть точка пересечения этих прямых — p. Так как Ap и Bp — биссектрисы углов A и B, то . Но тогда AC • BS = BC • AS, отсюда , следовательно биссектрисы углов S в ∆ ASB и C в ∆ ACB пересекаются на ребре AB, т.е. точки S, C и центры вписанных окружностей ∆ ASB и ∆ ACB лежат в одной плоскости. Отсюда следует, что отрезки, соединяющие вершины S и C с центрами вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются.
Пошаговое объяснение:
