Для дифференциального уравнения n-го порядка
уn = f(x, у, у',…, у(n-1)) (10.1)
задача Коши заключается в отыскании решения у = у(х) уравнения (10.1), удовлетворяющего начальным условиям
у(х0) = у0, у'(х0)= у'0, …, у(n-1)(х0)= у0(n-1),(10.2)
где х0,у0, у'0, у0(n-1) – заданные числа. Если функция f (x,y,y',..., y(n-1)) непрерывна, а ее частные производные ограничены в области, содержащей точку (х0,у0, у'0, у0(n-1)), то существует единственное решение задачи Коши (10.1), (10.2).
Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений
(10.3)
заключается в отыскании решения y1= y1(x),…уn = уn(x)системы (10.3), удовлетворяющего начальным условиям
y1(x0)= у10, у2(x0)= у20, …, уn(x0)= уn0 , (10.4)
где х0, у10, у20, … уn0– заданные числа. Если функции f(x, у1,…, уn), непрерывны и имеют ограниченные частные производные в некоторой области, содержащей точку (х0, у10, у20, … уn0), то существует единственное решение задачи Коши (10.3), (10.4).
Известно, что систему дифференциальных уравнений, содержащую производные высших порядков и разрешенную относительно старших производных искомых функций, можно привести к системе вида (10.3) путем введения новых неизвестных функций. В частности, дифференциальное уравнение (10.1) порядка n приводится к системе вида (10.3) с замены
у1 = у', у2 = у" , …, у n-1= y (n-1),
что дает следующую систему
(10.5)
то есть систему n дифференциальных уравнений первого порядка, правая часть которых не зависит от производных искомых функций. Поэтому численные методы решения дифференциальных уравнений традиционно изучают для уравнений первого порядка
а затем, как правило, без труда распространяют на нормальные системы дифференциальных уравнений вида (10.3). Так мы и поступим.
Итак, дано дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной
y' = f(x,у),(10.6)
и начальное условие
у (х0) = у0 (10.7)
Требуется численно решить задачу Коши (10.6), (10.7) на отрезке [x0, b]. Это решение будет состоять в построении таблицы приближенных значений у1, у2,…, уn искомого решения у = у(х)в точках х1, х2, …, хn = b, где yi ≈ y (xi),
. Для этого отрезок [x0, b] делят на n равных частей длины , так что xi = х0+ih, . Величина h называется шагом интегрирования.
Пошаговое объяснение:
