Все звенья десятизвенной ломаной A_0A_1\ldots A_{10}A ​0 ​​ A ​1 ​​ …A ​10 ​​ имеют целочисленную длину, длина всей ломаной составляет 9090 и никакие три вершины ломаной не лежат на одной прямой. Найдите наибольшую возможную длину ломаной A_0A_3A_4A_6A_8A_{10}A ​0 ​​ A ​3 ​​ A ​4 ​​ A ​6 ​​ A ​8 ​​ A ​10 ​​ , если её звенья также целочисленны.

Натуральные числа aa и bb таковы, что НОК(a,b)+(a,b)+ НОД(a,b)=3a+7b(a,b)=3a+7b. Найдите наименьшее возможное значение числа aa.
Из числа, записанного на доске, вычитают его наибольшую цифру, после чего получившуюся разность записывают на доску вместо исходного числа. После 1111 таких операций на доске оказалось число 100100. Какое наибольшее число могло быть записано изначально?
По шоссе, представляющему из себя окружность, провели заезд 1010 машин. Каждая из машин ехала с постоянной скоростью. Первая машина проехала ровно 1111 кругов, вторая -− ровно 1212, и так далее, последняя -− ровно 2020. Каждая следующая машина проехала на один круг больше предыдущей. Стартовали и финишировали все машины одновременно в одной и той же точке.

К каждой точке, в которой хотя бы один раз произошёл обгон, поставили флажок. Сколько всего получилось флажков?
В некоторой стране 1010 городов. Некоторые города были соединены двусторонними авиарейсами, не больше одного рейса между каждыми двумя городами. Из-за пандемии часть авиарейсов закрыли. После этого страна оказалась разделена на 66 частей, между которыми не существует авиарейсов.

Какое наибольшее число рейсов могло остаться?

График приведённого квадратного трёхчлена f(x)f(x) касается прямой y=xy=x (то есть имеет с ней единственную общую точку). Кроме того, этот трёхчлен имеет единственный корень. Найдите этот корень.
Числа p\leqslant q \leqslant rp⩽q⩽r простые, и число s=6p^4+5q^4+4r^4s=6p
​4
​​ +5q
​4
​​ +4r
​4
​​ тоже простое. Найдите наибольшее возможное значение ss.

Точки AA, BB, CC, DD, EE и FF лежат на окружности именно в таком порядке. Хорды ADAD и BEBE пересекаются в точке XX, ADAD и CFCF в точке YY, BEBE и CFCF в точке ZZ. XA=6XA=6, XB=9XB=9, YC=48YC=48, YD=60YD=60, ZE=30ZE=30, ZF=15ZF=15. Треугольник XYZXYZ равносторонний. Найдите его сторону.

На сторонах ABAB и CDCD параллелограмма ABCDABCD отмечены точки EE и FF соответственно. Отрезки AFAF и DEDE пересекаются в точке MM, а отрезки BFBF и CECE в точке NN. S_{AME}=49S
​AME
​​ =49, S_{ENB}=1S
​ENB
​​ =1, S_{EMFN}=40S
​EMFN
​​ =40. Найдите S_{CNB}S
​CNB

У Вани есть четыре краски. Сколькими он может раскрасить вершины куба каждую в свой цвет, если у одной грани могут быть вершины максимум двух различных цветов? Все цвета использовать не обязательно, раскраски, отличающиеся поворотом или симметрией считаются разными.