Задача 1. Абонент забыл две последние цифры номера телефона и, помня лишь, что они различны и меньше 4, набрал их наугад. Какова вероятность дозвониться с первого раза? Задача 2. В ящике находятся 6 изделий, из которых 4 бракованных. Из ящика наугад отбирают поочередно два изделия без возврата. Найти вероятность того, что: а) оба изделия окажутся бракованными; б) хотя бы одно окажется бракованным; в) хотя бы одно окажется небракованным.
Задача 3. Курс доллара повышается в течение квартала с вероятностью 0,8 и понижается c вероятностью 0,2. При повышении курса доллара фирма рассчитывает получить прибыль вероятностью 0,7, а при понижении - с вероятностью 0,4. Найти вероятность, что фирма получит прибыль.
Задача 4. Цех допускает 30% брака. Найти вероятность того, что из 5 случайно взятых изделий бракованными окажутся: а) более трех; б) хотя бы одно; в) найти наивероятнейшее число бракованных изделий и соответствующую ему вероятность.

Задача 1. Для решения данной задачи нам нужно определить число возможных комбинаций последних двух цифр номера телефона и число комбинаций этих двух цифр, при которых абонент дозвонится с первого раза.

Число возможных комбинаций двух последних цифр номера телефона можно определить посредством комбинаторики. Так как номер может содержать числа от 0 до 9, и две цифры не могут быть одинаковыми, то общее число комбинаций будет равно 9 * 8 = 72.

Чтобы абонент дозвонился с первого раза, он должен угадать правильную комбинацию из этих 72 комбинаций. Количество правильных комбинаций будет равно 1. Таким образом, вероятность дозвониться с первого раза будет равна 1/72.

Задача 2. В данной задаче есть несколько вариантов ответа, в зависимости от условий.

а) Чтобы оба изделия окажутся бракованными, нужно учесть, что изначально в ящике находится 4 бракованных изделия из 6. Первое бракованное изделие выбирается с вероятностью 4/6, а второе изделие - с вероятностью 3/5 (так как после выбора первого изделия в ящике остается 5 изделий). Таким образом, вероятность выбрать два бракованных изделия будет равна (4/6) * (3/5) = 2/5.

б) Чтобы хотя бы одно изделие окажется бракованным, можно рассмотреть случай, когда оба изделия являются бракованными и случай, когда одно изделие является бракованным, а другое - небракованным.

- Вероятность выбрать оба бракованных изделия была рассчитана в пункте (а) и составила 2/5.
- Вероятность выбрать одно бракованное и одно небракованное изделие можно рассчитать следующим образом: первое изделие выбирается с вероятностью 4/6, а второе изделие - с вероятностью 2/5 (так как после выбора первого изделия в ящике остается 5 изделий, из которых 2 небракованных). Таким образом, вероятность выбрать одно бракованное и одно небракованное изделие будет равна (4/6) * (2/5) = 4/15.

Общая вероятность того, что хотя бы одно изделие окажется бракованным, будет равна сумме вероятностей из пунктов (а) и (б): 2/5 + 4/15 = 14/15.

в) Вероятность выбрать хотя бы одно небракованное изделие можно рассчитать как 1 минус вероятность выбрать два бракованных изделия: 1 - 2/5 = 3/5.

Задача 3. В данной задаче нам даны вероятности повышения и понижения курса доллара, а также вероятности получения прибыли в зависимости от изменения курса.

Вероятность получения прибыли при повышении курса доллара составляет 0,7.
Вероятность получения прибыли при понижении курса доллара составляет 0,4.

Вероятность повышения курса доллара составляет 0,8.
Вероятность понижения курса доллара составляет 0,2.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу полной вероятности. Для этого нужно умножить вероятность каждого события (повышения и понижения курса) на вероятность получения прибыли при каждом из этих событий, а затем сложить полученные значения.

Вероятность получить прибыль при повышении курса доллара: 0,8 * 0,7 = 0,56.

Вероятность получить прибыль при понижении курса доллара: 0,2 * 0,4 = 0,08.

Общая вероятность получения прибыли будет равна сумме вероятностей получения прибыли при повышении и понижении курса: 0,56 + 0,08 = 0,64.

Задача 4. Для решения данной задачи нам необходимо определить вероятность того, что из 5 случайно выбранных изделий более трех окажутся бракованными, хотя бы одно окажется бракованным и найти наивероятнейшее число бракованных изделий и соответствующую ему вероятность.

а) Вероятность того, что из 5 случайно взятых изделий более трех окажутся бракованными, можно рассчитать с помощью биномиального распределения. Вероятность того, что выбранное изделие бракованное, равна 0,3. Вероятность того, что выбранное изделие небракованное, равна 0,7.

Чтобы найти вероятность более трех бракованных изделий, нам нужно сложить вероятности выбора 4 бракованных, выбора 5 бракованных и выбора 3 бракованных изделий:
(0,3)^4 * (0,7)^1 + (0,3)^5 + (0,7)^0 = 0,0081 + 0,00243 + 1 = 1,01053.

б) Вероятность того, что хотя бы одно изделие окажется бракованным, можно рассчитать как обратную вероятность того, что все изделия будут небракованными. То есть вероятность хотя бы одного бракованного изделия равна 1 минус вероятность выбора 0 бракованных изделий:
1 - (0,7)^5 = 1 - 0,16807 = 0,83193.

в) Чтобы найти наиболее вероятное число бракованных изделий, мы должны найти вероятность выбора каждого возможного числа бракованных изделий (от 0 до 5) и выбрать максимальную вероятность.

Вероятность выбора 0 бракованных изделий: (0,7)^5 = 0,16807.
Вероятность выбора 1 бракованного изделия: 5 * (0,3)^1 * (0,7)^4 = 0,36015.
Вероятность выбора 2 бракованных изделий: 10 * (0,3)^2 * (0,7)^3 = 0,3087.
Вероятность выбора 3 бракованных изделий: 10 * (0,7)^2 * (0,3)^3 = 0,1323.
Вероятность выбора 4 бракованных изделий: 5 * (0,7)^1 * (0,3)^4 = 0,02835.
Вероятность выбора 5 бракованных изделий: (0,3)^5 = 0,00243.

Наиболее вероятное число бракованных изделий - 1, соответствующая ему вероятность - 0,36015.