Дано:
A = (-1; 5]
B = (4,7; 10)

Назовите A∩B​

Для начала, давайте перепишем данный нам вопрос:

log2x - 25logx^2 = 10

Для решения данного неравенства, мы должны преобразовать его в форму, которую мы можем легко решить. В данном случае, мы видим два логарифма, поэтому мы можем использовать свойства логарифмов для упрощения неравенства.

Свойство 1: log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)
Свойство 2: log_a(b^c) = c*log_a(b)

Теперь применим эти свойства к нашему неравенству:

log2x - 25logx^2 = 10

преобразуем 25logx^2:
log2x - log(x^50) = 10

применим свойство 1:
log2x/x^50 = 10

применим свойство 2:
log2x = 10*x^50

Теперь давайте избавимся от логарифма. Мы знаем, что log_a(b) = c эквивалентно a^c = b. Применяя это к нашему уравнению, имеем:

2^10*x^50 = x

Вычислим 2^10:
1024*x^50 = x

Теперь приведем все члены этого уравнения в одну степень:

x^51 = x

Теперь мы можем решить это уравнение с помощью метода подстановки. Рассмотрим два варианта:

1) Поскольку мы выражаем x в степени, мы можем сделать предположение, что x - это положительное число. Подставим x = 1:

1^51 = 1

Математически это верно, поэтому x = 1 является одним из возможных решений.

2) Теперь предположим, что x - отрицательное число. Подставим x = -1:

(-1)^51 = -1

Математически это также верно, поэтому x = -1 также является возможным решением.

Таким образом, ответом на данное неравенство будет x = 1 или x = -1.

Чтобы составить уравнение дотичной плоскости и нормали к поверхности z(x,y) в точке M(1,2), мы можем использовать следующий алгоритм:

Шаг 1: Найдите значения функции z(x,y) в точке M(1,2)
Подставим координаты точки M(1,2) в уравнение поверхности z(x,y):
z(1,2) = (1^2 - 1*2 + 2^2)/(1+2) = (1-2+4)/3 = 3/3 = 1

Таким образом, значение функции z равно 1 в точке M(1,2).

Шаг 2: Найдите частные производные функции z(x,y) по x и y
Возьмем производную функции z(x,y) по x, считая y постоянной:
∂z/∂x = (2x - y)/(x+y)^2

Возьмем производную функции z(x,y) по y, считая x постоянной:
∂z/∂y = (-x + 2y)/(x+y)^2

Шаг 3: Найдите нормальный вектор к поверхности
Нормальный вектор к поверхности это вектор, перпендикулярный к дотичной плоскости. Он имеет координаты, соответствующие значениям ∂z/∂x и ∂z/∂y в точке M(1,2).
Таким образом, нормальный вектор будет иметь координаты (2(1) - 2)/(1+2)^2, (-1 + 2(2))/(1+2)^2.

Вычислим значения:
Нормальный вектор = (-1)/(3^2), (3)/(3^2) = (-1/9, 1/3)

Шаг 4: Найдите уравнение дотичной плоскости
Уравнение дотичной плоскости имеет вид:
z - z0 = (∂z/∂x, ∂z/∂y) • (x - x0, y - y0)

Подставим значения в уравнение:
z - 1 = (∂z/∂x, ∂z/∂y) • (x - 1, y - 2)

Учитывая, что (∂z/∂x, ∂z/∂y) = (∂z/∂x, ∂z/∂y) / ∥(∂z/∂x, ∂z/∂y)∥, получим:
z - 1 = ((2(1) - 2)/(1+2)^2, (-1 + 2(2))/(1+2)^2)/(√((-1/9)^2 + (1/3)^2)) • (x - 1, y - 2)

Распишем:
z - 1 = ((0)/(9), (1))/(√((-1/9)^2 + (1/3)^2)) • (x - 1, y - 2)

z - 1 = (0, 3)/(√((1/9) + (1/9))) • (x - 1, y - 2)

z - 1 = (0, 3)/(√(2/9)) • (x - 1, y - 2)

z - 1 = (0, 3)/(√2/3) • (x - 1, y - 2)

z - 1 = (0, 3) • (x - 1, y - 2) / (√2/3)

Можно домножить на √2:
√2(z - 1) = 2 • (0, 3) • (x - 1, y - 2) / (√2/3)

Упростим:
√2(z - 1) = 6/(√2/3) • (x - 1, y - 2)

√2(z - 1) = 6/(√2/3) • (x - 1, y - 2)

√2(z - 1) = 6 • √3/√2 • (x - 1, y - 2)

√2(z - 1) = 3√3 • (x - 1, y - 2)

Таким образом, уравнение дотичной плоскости к поверхности z(x,y) в точке M(1,2) имеет вид:

√2(z - 1) = 3√3 • (x - 1, y - 2)

А уравнение нормали будет:

(x - 1, y - 2) = (1/9, 1/3) • (z - 1)