ABCAB, C, призма правильная, сторона AB равна 16. Через точки M и P., лежащие на ребрах AC и BB соответственно, проводится плоскость a, параллельная прямой AB. Сечение призмы этой плоскостью представляет собой четырехугольник, у которого одна сторона равна 16, а остальные три равны между собой. а) Докажите, что периметр сечения призмы плоскостью а больше 40. б) Найдите расстояние от точки А до плоскости а, если указанный периметр равен 46.

а) Плоскость альфа параллельна AB, M принадлежит альфа, P принадлежит альфа .

Через точку P в плоскости (ABB_1) проведём PQ параллельна AB . Тогда плоскость (PQM) искомая по признаку параллельности прямой и плоскости (PQ параллельна AB , следовательно, (PQM) параллельна AB).

1 случай. Точка M совпадает с точкой A. В этом случае плоскость (PQM) (т. е. альфа) совпадает с (ABB_1) , сечение — прямоугольник (ABB_1 A_1) , и с учётом равенства трёх сторон получаем квадрат со стороной, равной 16 и периметром 64, что больше 40.

2 случай. Точка M находится внутри отрезка AC. В этом случае плоскость (PQM) не совпадает с (ABB_1) . Построим сечение призмы плоскостью (PQM). Пусть плоскость (PQM) пересекает нижнюю грань по прямой MN, N принадледит BC , тогда MN параллельна AB , ( в противном случае MN пересекается с AB в некоторой точке T и мы получаем противоречие: через три точки P, Q и T проходят две различные плоскости). Соединяя точки P и N, получаем искомое сечение PQMN.

Так как ABPQ — параллелограмм (AQ параллельна BP, AВ параллельна PQ) , даже прямоугольник, то AB = PQ = 16.

б) Решение по построению
Ответ: 24корень из 3 разделить на корень из 91