Можно просто запомнить правило:
Чтобы представить периодическую десятичную дробь в виде рационального числа, надо в числитель записать разность данного числа без запятой и скобок, и числа до периода (без учета запятой); в знаменатель записать число, содержащее столько девяток, сколько цифр в периоде, и приписать к нему столько нулей, сколько цифр между запятой и скобками.
Например:
В числитель пишем разность 1,21(7) и 1,21 (без учета запятой и скобок), в знаменатель одну девятку, так как в периоде одна цифра, и два нуля, так как после запятой до периода две цифры.
Можно представить периодическую дробь в виде суммы бесконесно убывающей геометрической прогрессии.
Тот же пример: 1, 21(7)
1,21 - постоянная часть, ее пока не рассматриваем.
0,00(7) = 0,007 + 0,0007 + 0,00007 + ... - сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой
b₁ = 0,007, q = 0,1
Теперь осталось прибавить к этой дроби постоянную часть:
