ответ: 1) dz=e^(x/y)*dx/y-x*e^(x/y)*dy/y²; 2) функция имеет максимум в точке M(2/3; 1/3).
Пошаговое объяснение:
1) z=e^(x/y)
Находим частные производные:
dz/dx=1/y*e^(x/y), dz/dy=-x/y²*e^(x/y).
Полный дифференциал dz=dz/dx*dx+dz/dy*dy=e^(x/y)*dx/y-x*e^(x/y)*dy/y²
2) Находим первые частные производные:
dz/dx=2*y+2*x-2; dz/dy=2*x+8*y-4.
Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений:
x+y-1=0
x+4*y-2=0
Решая её, находим x=2/3, y=1/3 - координаты единственной критической точки М(2/3; 1/3).
Находим вторые частные производные:
d²z/dx²=2; d²z/dxdy=2; d²z/dy²=8. Так как они суть постоянные числа, то и в критической точке они будут иметь те же значения:
A=d²z/dx²(M)=2; B=d²z/dxdy(M)=2; C=d²z/dy²(M)=8.
Так как выражение A*C-B²=2*8-4=12>0, то есть положительно, то в точке М функция действительно имеет экстремум. А так как при этом A=2>0, то этот экстремум является максимумом.
Пошаговое объяснение:
Область определения D(f) =R (все действительные числа)
Область значений: E(f) = [-1; +∞)
Убывание на промежутке х∈ (-∞; 2]
Возрастание на промежутке х∈ [2; +∞)
Функция положительна при х∈ (-∞; 1)∪(3; +∞)
Функция отрицательна при х∈ (1; 3)
Нули функции: х₁=1; х₂=3
Функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция не является периодической.
Функция имеет единственный экстремум минимум функции: у= -1 в точке х=2
Наименьшее значение функции: у = -1
Функция у = х² - 4х + 3 является степенной квадратичной функцией с графиком типа парабола.
