Какие из этих чисел будут иррациональными: а) 3,8162432…;
б) -3 целых 5/6 ;
в) -√11;
г) 0,426 426 426… .

Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что других решений нет.

Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на , получим уравнение . Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на , имеем . Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.

Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.

Давным давно, много миллионов лет назад жили ноты, всякие-всякие ... большие и маленькие, прямые и под наклоном, обычные и завернутые. Из-за своего несходства они не дружили и никак даже вместе стоять не могли. ходили по одиночке и изредка вылавали кроткие звуки. 
Но вот, пришел Скрипичный Ключ, собрал всех и прлил речь мелодичную, золотую: " Чтож вы братцы? Братцы мелодичные! Чтож вы разнобой-то ходите? Али не понимаете что без толку прибывания этакие? Соберитесь вместе, потеснитесь, но шедевр сотварите! Да, Мы все разные, но это не мешает музыку златогласую издавать! Доберитесь, поклонитесь, потеснитесь, уразумитесь" . Так ноты и сделали... Так и родилась музыка златогласая. И по сей день живет...
ДАЙ ЛУЧШИЙ ОТВЕТ