Средний процент попаданий за игру у баскетболиста - 50%. В очередной игре он сделал 4 бросков по кольцу. Найти закон распределения случайной величины Х - числа попаданий в игре (ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения и ее график). Определить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду).

Добрый день! Конечно, я могу помочь вам с этой математической задачей.

Для начала, давайте определим вероятность попадания в один бросок. Так как средний процент попаданий составляет 50%, вероятность попадания будет равна 0.5.

Теперь рассмотрим случайную величину Х, которая обозначает число попаданий в игре. Число попаданий может меняться от 0 до 4, так как в игре было сделано 4 броска.

Давайте построим ряд распределения, чтобы наглядно представить закон распределения случайной величины Х:

Число попаданий (X) | Вероятность (P)
----------------------------------------
0 | 0.0625
1 | 0.25
2 | 0.375
3 | 0.25
4 | 0.0625

В этом ряде распределения мы указали вероятности соответствующих значений числа попаданий. Например, вероятность того, что баскетболист не попадет ни разу, составляет 0.0625, так как вероятность попадания в один бросок равна 0.5, и бросков неудачных может быть 4 (0.5^4 = 0.0625).

Далее, функция распределения, обозначим ее F(x), представляет собой сумму вероятностей всех значений, меньших или равных x:

F(x) = P(X ≤ x)

Теперь давайте посчитаем значения функции распределения для каждого значения числа попаданий:

F(0) = P(X ≤ 0) = 0.0625
F(1) = P(X ≤ 1) = 0.0625 + 0.25 = 0.3125
F(2) = P(X ≤ 2) = 0.0625 + 0.25 + 0.375 = 0.6875
F(3) = P(X ≤ 3) = 0.0625 + 0.25 + 0.375 + 0.25 = 0.9375
F(4) = P(X ≤ 4) = 0.0625 + 0.25 + 0.375 + 0.25 + 0.0625 = 1

Теперь мы можем построить график функции распределения, который позволит наглядно увидеть изменение вероятности по мере увеличения числа попаданий.

---------- F(x) ----------
|
| .
| .
| .
| .
| .
|
------------------------------
0 1 2 3 4

На оси x мы отложили значения числа попаданий, а на оси y - значения функции распределения. Точечное обозначение на графике показывает, что в каждой точке значение функции распределения равно вероятности.

Теперь перейдем к числовым характеристикам случайной величины Х.

Математическое ожидание - это среднее значение случайной величины и вычисляется с помощью формулы:

E(X) = Σ(x * P(x))

Где Σ - знак суммирования, x - значение случайной величины, P(x) - вероятность этого значения.

В нашем случае:

E(X) = 0 * 0.0625 + 1 * 0.25 + 2 * 0.375 + 3 * 0.25 + 4 * 0.0625
= 0 + 0.25 + 0.75 + 0.75 + 0.25
= 2

Таким образом, математическое ожидание Х равно 2.

Дисперсия - это мера разброса случайной величины относительно ее среднего значения и вычисляется по формуле:

Var(X) = Σ((x - E(X))^2 * P(x))

Где Σ - знак суммирования, x - значение случайной величины, E(X) - математическое ожидание, P(x) - вероятность этого значения.

В нашем случае:

Var(X) = ((0 - 2)^2 * 0.0625) + ((1 - 2)^2 * 0.25) + ((2 - 2)^2 * 0.375) + ((3 - 2)^2 * 0.25) + ((4 - 2)^2 * 0.0625)
= (4 * 0.0625) + (1 * 0.25) + (0 * 0.375) + (1 * 0.25) + (4 * 0.0625)
= 0.25 + 0.25 + 0 + 0.25 + 0.25
= 1

Таким образом, дисперсия Х равна 1.

Среднее квадратическое отклонение - это корень квадратный из дисперсии и вычисляется по формуле:

SD(X) = √(Var(X))

В нашем случае:

SD(X) = √(1) = 1

Таким образом, среднее квадратическое отклонение Х равно 1.

Мода - это значение случайной величины, которое наиболее часто встречается в выборке. В нашем случае, все значения разные и вероятности одинаковые, поэтому в данном случае моды нет.

Надеюсь, что я дал вам подробное объяснение и решение задачи! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.