Буратино спешит к замку. У Буратино 10 золотых монет

1) f(x) = -x²*(x-2)²
f'(x) = -2x*(x-2)²-x²*2*(x-2) = -2x*(x²-4x+4)-2x³+4x² = -2x³+8x²-8x-2x³+4x² = -4x³+12x²-8x
f'(x) = 0, при -4x³+12x²-8x = 0
-4x(x²-3x+2) = 0
x1 = 0
или
х²-3х+2 = 0
х2 = 1
х3 = 2

Рассмотрим 4 промежутка (-∞; 0), (0;1), (1;2) и (2; +∞)

в промежутке (-∞;0) f'(x) > 0 => f(x) ↑
в промежутке (0;1) f'(x) < 0 => f(x) ↓
в промежутке (1;2) f'(x) > 0 => f(x) ↑
в промежутке (2;+∞) f'(x) < 0 => f(x) ↓

в местах, где меняется стрелка - находится точка экстремума
с ↑ на ↓ - точка максимума
с ↓ на ↑ - точка минимума

Экстремумы:
х=0 - максимум
х=1 - минимум
х=2 - максимум

ДАНО
Y(x) = x² - 28*x + 96*lnx - 3
НАЙТИ
Точку с максимальным значением функции.
РЕШЕНИЕ
Локальные экстремумы находятся в корнях первой производной функции.
Находим производную функции:
Y(x) = 2*x - 28 + 96/x
Находим корни производной решив квадратное уравнение.
2*x² - 28*x  + 96 = 0 
x² - 14*x + 48 = 0
Вычисляем дискриминант - D=4.
Два действительных корня: х₁ = 8 и х₂ = 6.
ВАЖНО.  Функция убывает, когда производная отрицательна и возрастает, когда производная положительна.
Имеем для производной - отрицательна между корнями - Х∈[6;8]
Функция возрастает - Х∈(-∞;6]∪[8;+∞)
ВЫВОД: Ymax(6) = 37, Ymin(8) - локальный минимум.
ОТВЕТ: Максимум при Х=6.
Рисунок с графиком функции в приложении.