Дана трапеция abcd с основаниями ad= a и bc = b. точки m и n лежат на сторонах ab и cd соответственно, причем отрезок mn параллелен основаниям трапеции. диагональ ac пересекает этот отрезок в точке o. найдите mn, если известно, что площади треугольников amo и cno равны. ! в ответах написано, что будет корень из

Докажем сначала, что прямые MC и AN параллельны. 

MOA и CON (см. рис.) треугольник AON , получим, что треугольникиAMN и ACN AN , а M и C  AN . А поскольку они, очевидно, лежат по одну сторону от этой прямой, прямые MC и ANпараллельны. 
Продолжим решение задачи. Имеем две пары подобных треугольников (по трём углам): Δ MCNΔ AND (а значит, AD:MN=AN:MC ) и Δ MCBΔ ANM (откуда, в свою очередь, AN:MC=MN:BC ). , 

откуда получаем 

MN2=AD· BC=ab,