Пошаговое объяснение:
каждого человека - 1 отец и 1 мать, по 2 деда и 2 бабки, по 4 прадеда и 4 прабабки, по 8 прапрадедов и 8 прапрабабок,и так далее с каждым новым поколением предков, их число каждый раз удваивается, и эти удвоения идут до бесконечности вглубь Если считать что в среднем за 100 лет у 1 семьи сменяется 4 поколения (сын-внук-правнук -праправнук),а каждое новое поколение рождается примерно через 25 лет после предыдущего (отец в 25 лет родил сына, его сын в 25 лет родил ему внука итд.), то число предков быстро увеличивается:
За 200 лет - 8 поколений, два в восьмой степени= 256 человек прямых предков за 8 поколений (деды, прадеды, прабабки итд,), не считая боковых линий родственников (братьев , сестер) итд.
За 500 лет- 20 поколений, = 1.05 миллиона человек человек прямых предков за 500лет, без учета боковых линий(братьев, сестер итд..).
Если же учесть все боковые линии этих предков,то, с учетом того , что по научным оценкам в 1500 году жило 460 млн. чел, а современное население в 14 раз больше, 6,5млрд. чел., то за 500 лет число этих прямых прапредков в 1.05 млн.человек умножаем на 14 = 14.7 млн. человек- примерное число современных потомков тех людей.
Процесс нахождения производной f(x) функции F(x) называется дифференцированием. Обратная задача — отыскание самой функции F(x) по ее производной f(x) — называется интегрированием.
Определение I. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F'(x) = f(x).
Примеры:
1. Функция F(x) = - cos x является первообразной для функции f(x) = sin x при всех действительных значениях х, так как в любой точке х числовой прямой (- cos х)' = sin x.
2. Функция F(x) = х3 является первообразной для функции f(x) = Зх2 при всех действительных значениях х, так как в любой точке числовой прямой (х3) '= Зх2.
3. Функция F(x) =  является первообразной для функции f(x) = на интервале (-1; 1), так как в любой точке этого интервала

Задача отыскания по данной функции f(x) ее первообразной F(x) решается неоднозначно. Действительно, если F(x) —первообразная для f(х), т.е. F'(x) =f(x), то функция F(x)+C , где С— произвольная постоянная, также является первообразной для f(x), так как (F (х)+С)' = f(x) для любого числа С.
Например, для f(x) = cos x первообразной является не только sin x, но и функция sin х + С, так как (sin х + С)' = cos x.
Теорема 1. Если F (х) — какая-либо первообразная для функции f(x) на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для f(х) на этом же промежутке может быть представлена в виде F(x)+C, где С — произвольная постоянная.
Из теоремы следует, что множество функций F(x) + С, где F(x) — одна из первообразных для функции f(x), а С—произвольная постоянная, исчерпывает все семейство первообразных функций для f(х).
Определение 2. Множество всех первообразных функции f(x) называется ее неопределенным интегралом и обозначается символом .
При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, а переменная х— переменной интегрирования. Процесс восстановления функции по ее производной, или, что то же самое, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием. Так как интегрирование—операция, обратная дифференцированию, то для проверки правильности интегрирования достаточно продифференцировать результат интегрирования и получить при этом подынтегральную функцию.
Свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

Действительно,

(F(x)+C)' = F'(x) = f(x).
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

Действительно,

3. Интеграл от дифференциала функции равен (с точностью до произвольной постоянной) самой функции, т.е.

Действительно,

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

Действительно, если F(x) — первообразная для функции f(x), т.е. F'(x) = f(x), то kF(x) —первообразная для функции kf(x). Из определения 2 следует, что
 где .
5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, т.е.

Действительно, пусть F(x) и G(x) — первообразные для функций f(x) и g(x): F'(x) = f(x) и G'(x) = g(x). Тогда функция F(x) ± G(x) является первообразной для функции f(х) ± g(x) и, следовательно,


Очевидно, это свойство справедливо для любого конечного числа интегрируемых функций.
6. Если независимую переменную интегрирования х заменить некоторой дифференцируемой функцией и(х), то формула интегрирования не изменится. То есть, если справедливо равенство
,
то справедливо и равенство
.
