Стрелок делает четыре выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна p  3/4. Построить ряд
распределения для дискретной случайной величины Х ─ числа
попаданий в мишень, найти ее функцию распределения F(x),
числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию,
среднеквадратическое отклонение. Построить многоугольник
распределения и график функции F(x).

Добрый день!

Чтобы построить ряд распределения для дискретной случайной величины Х - числа попаданий в мишень, нужно определить вероятность каждого возможного значения этой случайной величины.

У нас есть 4 выстрела, и вероятность попадания при каждом выстреле равна p = 3/4. Значит, у нас есть 4 возможных значений числа попаданий: 0, 1, 2, 3 и 4.

Чтобы найти вероятность каждого значения, мы можем воспользоваться формулой Бернулли. Формула Бернулли для расчета вероятности успеха в n независимых испытаниях имеет вид P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), где X - случайная величина, k - количество "успехов" (в нашем случае - попаданий), n - общее количество испытаний (в нашем случае - выстрелов), p - вероятность успеха в каждом испытании (вероятность попадания).

Теперь посчитаем вероятность каждого значения числа попаданий:

P(X=0) = C(4,0) * (3/4)^0 * (1-(3/4))^(4-0) = 1 * 1 * (1/4)^4 = 1 * 1 * 1/256 = 1/256
P(X=1) = C(4,1) * (3/4)^1 * (1-(3/4))^(4-1) = 4 * 3/4 * 1/4 * 1/4 * 1/4 = 48/256 = 3/16
P(X=2) = C(4,2) * (3/4)^2 * (1-(3/4))^(4-2) = 6 * 9/16 * 7/16 * 1/4 = 378/256 = 9/8
P(X=3) = C(4,3) * (3/4)^3 * (1-(3/4))^(4-3) = 4 * 27/64 * 1/4 * 1/4 * 1/4 = 108/256 = 27/64
P(X=4) = C(4,4) * (3/4)^4 * (1-(3/4))^(4-4) = 1 * 81/256 * 1/4 * 1/4 * 1/4 = 81/256

Теперь перейдем к построению ряда распределения для дискретной случайной величины Х:

Значение X | Вероятность P(X)
----------------------------
0 | 1/256
1 | 3/16
2 | 9/8
3 | 27/64
4 | 81/256

Далее, чтобы найти функцию распределения F(x), нужно просуммировать вероятности всех значений от 0 до x включительно:

F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + ... + P(X=x)

Построим таблицу функции распределения для каждого значения x:

Значение X | Вероятность P(X) | Функция распределения F(x)
-----------------------------------------------------------
0 1/256 1/256
1 3/16 1/256 + 3/16 = 49/256
2 9/8 49/256 + 9/8 = 337/256
3 27/64 337/256 + 27/64 = 2113/1024
4 81/256 2113/1024 + 81/256 = 10497/4096

Теперь, чтобы найти числовые характеристики - математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение, воспользуемся следующими формулами:

Математическое ожидание (M) = Σ(X * P(X)) = 0 * (1/256) + 1 * (3/16) + 2 * (9/8) + 3 * (27/64) + 4 * (81/256) = 65/16 = 4.0625

Дисперсия (D) = Σ((X-M)^2 * P(X)) = (0-4.0625)^2 * (1/256) + (1-4.0625)^2 * (3/16) + (2-4.0625)^2 * (9/8) + (3-4.0625)^2 * (27/64) + (4-4.0625)^2 * (81/256) = 57.6484

Среднеквадратическое отклонение (σ) = √D = √57.6484 = 7.5990

Наконец, построим многоугольник распределения и график функции F(x):

Многоугольник распределения:
Значение X | Вероятность P(X)
----------------------------
0 | 1/256
1 | 3/16
2 | 9/8
3 | 27/64
4 | 81/256

График функции F(x):
Координаты (x, F(x))
(0, 1/256), (1, 49/256), (2, 337/256), (3, 2113/1024), (4, 10497/4096)

Надеюсь, что данное пошаговое решение поможет вам понять задачу и подготовить подробный ответ. Если у вас возникли еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!