Найдите значение производной функции в точке. у = 6х− 5х3 , х0 = 1

Теорема Безу

Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (x - a) равен f(a)

Доказательство

f(x) = (x - a)·g(x) + r, где g(x) - частное, имеет степень на 1 меньше, чем f(x), а r - число (многочлен степени 0)

Тогда, подставляя x = a получаем:

f(a) = (a - a)·g(a) + r, то есть получаем f(a) = r, или r = f(a) - что и требовалось.

Теорема 2

x = a - корень f(x) ⇔ f(x) делится на (x - a)

Доказательство

из теоремы Безу получаем, что если f(a) = 0 (то есть a - корень f(x)) ⇒ f(x) = (x - a)·g(x) + 0 ⇒ f(x) при делении на (x - a) дает g(x) при 0-м остатке, а значит делится (x - a)

Обратно: раз f(x) делится на (x - a), значит остаток равен 0, а он по теореме Безу равен f(a), то есть a - корень f(x)

Пусть R - радиус основания, H - высота цилиндра.
Тогда площадь основания найдем как πR², площадь боковой стенки как 2πRH. Поскольку квадратный метр материала на основание и на стенку равен одинаково C, то суммарная стоимость равна πR²C+2πRHC.
Объем бака известен и равен V. Вычисляется по формуле V=πR²H.
Из этой формулы выразим H=V/(πR²) и подставим в формулу суммарной стоимости.
πR²C+2πRHC = πR²C+2πRС*V/(πR²) = πR²C+2CV/R
В этом выражении варьируется только R, поэтому обозначим его как функцию от R: f(R) = πR²C+2CV/R
Найдем производную f(R) для определения точки минимума функции f(R):
f'(R) = 2πRC-2CV/R² = 2Cπ * (R³ - V/π) / R²
Нули производной: 
f'(R)=0 => R = ∛(V/π)
Изобразим на прямой 0R промежутки убывания и возрастания функции f(R):
  убывает         убывает                    возрастает          f(R)
0 ∛(V/π) > R
       -                         -                                  +                f'(R)
Значит, стоимость минимальна при R=∛(V/π)
Найдем H, соответствующее R=∛(V/π):
H=V/(πR²)=V/(π*(∛(V/π))²) = ∛(V/π)