1)Сколько существует десятизначных натуральных чисел, в записи которых присутствуют толькоцифры 1 и 8? 2)Группа, состоящая из 20 студентов, писала контрольную работу с 6
заданиями. Староста группы решил все задания, остальные меньше. Докажите, что найдется хотя бы 4 студента, решивших одинаковое число заданий.
3)Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4
женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола.
Сколькими можно заполнить вакантные места, если имеются 14
претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

1) Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны определить, какие существуют ограничения. В данном случае, у нас есть две цифры - 1 и 8, и мы должны создать десятизначные натуральные числа с этими цифрами.

Мы знаем, что число может начинаться с 1 или 8, так как другие цифры не разрешены. Затем, для каждого из оставшихся девяти разрешенных разрядов, у нас есть два варианта - 1 или 8. Таким образом, всего у нас есть два варианта для каждого из девяти разрядов, что дает нам 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2^9 различных комбинаций.

Таким образом, ответ на этот вопрос составляет 2^9 = 512 десятизначных натуральных чисел, в записи которых присутствуют только цифры 1 и 8.

2) Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся принципом Дирихле, который гласит: "Если n + 1 объектов распределены по n ящикам, то хотя бы в одном ящике найдется два и более объектов".

У нас есть 20 студентов и 6 заданий. Если староста решает все задания, остается 19 студентов, которые должны решить оставшиеся 6 заданий. Для простоты предположим, что каждый студент решает по одному заданию и ни один из студентов не решает больше одного задания.

Таким образом, мы можем разделить оставшиеся 6 заданий на 6 ящиков (по одному заданию для каждого студента). Однако у нас есть 19 студентов, поэтому, используя принцип Дирихле, мы можем сделать вывод, что хотя бы в одном ящике найдется два и более задания, и следовательно, хотя бы у 4 студентов будет одинаковое количество решенных заданий.

3) Чтобы решить эту задачу, мы должны рассмотреть каждую специальность отдельно и определить, сколько вариантов есть для заполнения вакантных мест.

- Для первой специальности, у нас есть 4 женщины, и мы должны выбрать 4 из них. Это соответствует задаче комбинаторики, и мы можем использовать формулу для подсчета количества комбинаций сочетаний без повторений. Таким образом, количество вариантов для заполнения мест от 6 женщин равно C(6,4) = 6! / (4!(6-4)!) = 6 * 5 / (2 * 1) = 15.

- Для второй специальности, у нас есть 6 мужчин, и мы должны выбрать 6 из них. Используя ту же формулу для подсчета комбинаций сочетаний без повторений, получим C(8,6) = 8! / (6!(8-6)!) = 8 * 7 / (2 * 1) = 28.

- Для третьей специальности, у нас есть 3 работника, которые могут быть мужчинами или женщинами. Это означает, что у нас есть 14 претендентов на 3 вакантных места. Используя ту же формулу для подсчета комбинаций сочетаний без повторений, получим C(14,3) = 14! / (3!(14-3)!) = 14 * 13 * 12 / (3 * 2 * 1) = 364.

Таким образом, суммируя количество вариантов для каждой специальности, мы получаем общее количество вариантов заполнения вакантных мест: 15 + 28 + 364 = 407.