Задача №1 Найти все значения переменной х, при которых сумма дроби 2x/(x-1) и дроби 3x/(x-2) равна 2.
Задача №2
Дана несократимая дробь, числитель которой на 1 меньше знаменателя. Если и к числителю, и к знаменателю прибавить 2, то данная дробь увеличится на 2/15. Найдите эту дробь
(подсказка: знаменатель принять за х. Обязательно учитывайте, что и числитель, и знаменатель - положительные)
Задача №3
Две швеи, работая вместе, выполнят полученный заказ за 6 дней. За сколько дней каждая из них, работая отдельно, могла бы выполнить заказ, если одной потребуется для этого на 5 дней больше, чем другой
(условие задачи обязательно оформить в виде таблицы)
​

Задача №1:
Нам дана сумма двух дробей: 2x/(x-1) + 3x/(x-2) = 2.
Для того чтобы решить эту задачу, нужно найти значения x, при которых эта сумма равна 2.

1. Сначала найдем общий знаменатель для этих дробей. В данном случае, общим знаменателем будет (x-1)(x-2).
Теперь приведем дроби к общему знаменателю:
(2x(x-2) + 3x(x-1))/(x-1)(x-2) = 2.

2. Упростим числитель:
(2x^2 - 4x + 3x^2 - 3x)/(x-1)(x-2) = 2.
(5x^2 - 7x)/(x-1)(x-2) = 2.

3. Раскроем скобки в знаменателе:
(5x^2 - 7x)/(x^2 - 3x + 2) = 2.

4. Умножим обе части уравнения на знаменатель:
5x^2 - 7x = 2(x^2 - 3x + 2).

5. Раскроем скобки:
5x^2 - 7x = 2x^2 - 6x + 4.

6. Перенесем все члены уравнения влево:
5x^2 - 7x - 2x^2 + 6x - 4 = 0.

7. Сгруппируем члены уравнения:
(5x^2 - 2x^2) + (-7x + 6x) - 4 = 0.
3x^2 - x - 4 = 0.

8. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратного трехчлена.
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a), где a = 3, b = -1, c = -4.

9. Подставим значения в формулу:
x = (-(-1) ± sqrt((-1)^2 - 4*3*(-4)))/(2*3).

10. Упростим:
x = (1 ± sqrt(1 + 48))/6.
x = (1 ± sqrt(49))/6.
x = (1 ± 7)/6.

11. Итак, у нас есть два возможных значения для x:
a) x = (1 + 7)/6 = 8/6 = 4/3.
б) x = (1 - 7)/6 = -6/6 = -1.

Задача №2:
Нам дана несократимая дробь, числитель которой на 1 меньше знаменателя. Если прибавить 2 к числителю и к знаменателю, то дробь увеличится на 2/15.
Чтобы найти эту дробь, обозначим числитель через m и знаменатель через n.

1. Из условия задачи у нас есть два уравнения:
m = n - 1,
(m + 2)/(n + 2) = (m/n) + 2/15.

2. Подставим значение числителя из первого уравнения во второе уравнение:
((n - 1) + 2)/(n + 2) = ((n - 1)/n) + 2/15.

3. Упростим числитель:
(n - 1 + 2)/(n + 2) = (n - 1)/n + 2/15.
(n + 1)/(n + 2) = (n - 1)/n + 2/15.

4. Умножим обе части уравнения на n(n+2):
n(n + 1) = (n - 1)(n + 2) + (2/15)(n)(n + 2).

5. Раскроем скобки:
n^2 + n = n^2 + 2n - n - 2 + (2/15)(n^2 + 2n).

6. Упростим и сгруппируем члены уравнения:
n^2 + n = n^2 + n - 2 + (2/15)(n^2 + 2n).

7. Сократим некоторые члены:
n^2 + n = n^2 + n - 2 + (2/15)(n^2 + 2n).

8. Умножим обе части уравнения на 15, чтобы избавиться от дроби:
15(n^2 + n) = 15(n^2 + n - 2) + 2(n^2 + 2n).

9. Раскроем скобки:
15n^2 + 15n = 15n^2 + 15n - 30 + 2n^2 + 4n.

10. Сгруппируем члены уравнения:
15n^2 + 15n = 15n^2 + 15n - 30 + 2n^2 + 4n.

11. Сократим некоторые члены:
15n^2 + 15n = 15n^2 + 15n - 30 + 2n^2 + 4n.

12. Отсюда можем увидеть, что 15n^2 и 15n^2 сокращаются, а 15n и 15n сокращаются, также как и (-30) ничего не меняет:
0 = -30 + 2n^2 + 4n.

13. Перенесем все члены уравнения влево:
2n^2 + 4n + 30 = 0.

14. Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или квадратного трехчлена.
n = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a), где a = 2, b = 4, c = 30.

15. Подставим значения в формулу:
n = (-4 ± sqrt(4^2 - 4*2*30))/(2*2).

16. Упростим:
n = (-4 ± sqrt(16 - 240))/4.
n = (-4 ± sqrt(-224))/4.

17. Теперь нам нужно найти корень из отрицательного числа, что невозможно в рамках вещественных чисел, поэтому решение этой задачи невозможно.

Задача №3:
Нам дано, что две швеи, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 дней. А также одной из них потребуется на 5 дней больше, чем другой, чтобы выполнить заказ самостоятельно.
Чтобы найти, за сколько дней каждая из швеек может выполнить заказ самостоятельно, составим таблицу.

Пусть первая швейка может выполнить заказ самостоятельно за x дней, тогда вторая швейка сможет выполнить заказ самостоятельно за x + 5 дней.

| | Первая швейка | Вторая швейка |
|---|--------------|--------------|
| За сколько дней выполнит заказ самостоятельно? | x | x + 5 |
| За сколько дней выполнит заказ вместе с другой швейкой? | - | 6 |

Так как они работают вместе и выполняют заказ за 6 дней, то можно составить следующее уравнение:

1/x + 1/(x + 5) = 1/6.

1. Перенесем 1/6 влево:
1/x + 1/(x + 5) - 1/6 = 0.

2. Приведем все слагаемые к общему знаменателю:
(6(x + 5) + 6x - x(x + 5))/(6x(x + 5)) = 0.

3. Раскроем скобки:
(6x + 30 + 6x - x^2 - 5x)/(6x(x + 5)) = 0.

4. Упростим и сгруппируем члены уравнения:
(12x - x^2 + 25x + 30)/(6x(x + 5)) = 0.

5. Сократим некоторые члены:
(x^2 - 37x - 30)/(6x(x + 5)) = 0.

6. У нас есть дробь, которая равна нулю, это значит, что числитель должен быть равен нулю:
x^2 - 37x - 30 = 0.

7. Сможем ли мы разложить это уравнение на линейные множители? Попробуем:
(x - 30)(x + 1) = 0.

8. Отсюда получаем два возможных значения для x:
a) x - 30 = 0, x = 30.
б) x + 1 = 0, x = -1.

Итак, первая швейка может выполнить заказ самостоятельно за 30 дней, а вторая швейка может выполнить заказ самостоятельно за 30 + 5 = 35 дней.