Чтобы найти НОД нескольких чисел, нужно разложить эти числа на простые множители и найти произведение их совместных простых множителей, взятых с наименьшим показателем степени.
23 - простое число
27 = 3³
НОД (23 и 27) = 1 - наибольший общий делитель
Числа 23 и 27 взаимно простые, так как у них нет общих делителей, кроме единицы.
28 = 2² * 7
72 = 2³ * 3²
56 = 2³ * 7
НОД (28; 72 и 56) = 2² = 4 - наибольший общий делитель
48 = (2*2*2*2) * 3
80 = (2*2*2*2) * 5
112 = (2*2*2*2) * 7
НД (48; 80 и 112) = (2*2*2*2) = 16 - наибольший общий делитель
42 = 2 * 3 * 7
14 = 2 * 7
НОД (42 и 14) = 2 * 7 = 14 - наибольший общий делитель
40 = 2³ * 5
45 = 3² * 5
50 = 2 * 5²
НОД (40; 45 и 50) = 5 - наибольший общий делитель
для N=1
5*2^(3-2) + 3^(3-1)=10+9=19 делится
предположим что верно для N, тогда верно и для N+1
5*2^(3N-2)+3^(3N-1) верно
Доказать что 5*2^(3(N+1)-2)+3^(3(N+1)-1) тоже делится на 19
5*2^(3(N+1)-2)+3^(3(N+1)-1)=5*2^(3N+3-2)+3^(3N+3-1)=5*2^(3N+1)+3^(3N+2)=
= 5*2^(3N-2)*2^3+3^(3N-1)*3^3=5*2^(3N-2)*8+3^(3N-1)*27=5*2^(3N-2)*8+3^(3N-1)*8+3^(3N-1)*19=8*(5*2^(3N-2)+3^(3N-1))+3^(3N-1)*19
два слагаемых - второе делится так как один из сомножителей кратен 19, в первом слагаемом в скобках тоже делится на 19 как предположение при N
