45. Жоғарыдағы мәтіннен зат есімд
септігінің қосымшасын жалғап, әртүрлі​

Доказать, что  делится на 

====

Вспомним формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем  : ;
Здесь мы взяли первый член равный единице и q∈N; Очевидно, что эта сумма есть целое число, иными словами  делится на . Пусть здесь . Имеем: число целое (*). Нам же нужно доказать, что число  целое.

Итак, раз число (*) целое, то число  дает остаток 1 от деления на число ; Осталось лишь найти остаток от деления на то же число числа . Найдем произведение этих двух чисел:  Пусть остаток от деления этого числа на число равен x; Мы знаем, что остаток от деления числа  на число равен 1. А остаток от деления числа на число равен 2. Стало быть, остаток от деления числа на число равен 3.
Отсюда остаток от деления числа на число равен  ; Но , поэтому остаток равен 2. Мы только что нашли x. x = 2, а остаток от деления на число числа , как уже говорилось равен 1. Значит искомый остаток от деления на числа равен 2. Отсюда и следует, что делится на 

Извини, что запутано :)

Не может.

Сумма цифр числа даёт такой же остаток при делении на 9, что и само число. Поскольку сумма цифр 1*1 + 2*2 + 3*3 + ... + 9*9 = 285 даёт остаток 6 при делении на 9, то и само число даёт остаток 6 при делении на 9.

Но полные квадраты могут давать только такие остатки:
– квадраты чисел вида 9k, 9k + 3, 9k + 6: остаток 0
– квадраты чисел вида 9k + 1, 9k + 8: остаток 1
– квадраты чисел вида 9k + 2, 9k + 7: остаток 4
– квадраты чисел вида 9k + 4, 9k + 5: остаток 7

Значит, исходное число не является полным квадратом.