Cтрелок стреляет по мишени 5 раз/ Вероятность того что он попадет в мишень равна 0.8 - Найдите вероятность того что стрелок а) попадет в мишень ровно три раза
б) более четырех раз
в) менее двух раз
г) четное число раз
д) не менее одного раза и не более трёх раз
е) любо три раза, либо пять раз.

Для решения этой задачи будем использовать биномиальное распределение, так как событие попадания или не попадания стрелка в мишень является бинарным (имеет только два исхода: попадание или промах) и независимым, то есть вероятность попадания в один выстрел не зависит от остальных выстрелов.

Для более подробного решения, нам нужно знать формулу биномиального распределения. Пусть X - случайная величина, равная количеству попаданий в мишень. Тогда вероятность того, что стрелка попадет ровно k раз при n испытаниях, равна:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где C(n, k) - количество сочетаний из n по k (число способов выбрать k элементов из n), p - вероятность попадания в мишень в одном выстреле, а 1-p - вероятность промаха.

а) Чтобы найти вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно три раза, подставим соответствующие значения в формулу:

P(X = 3) = C(5, 3) * 0.8^3 * (1-0.8)^(5-3) = 10 * 0.8^3 * 0.2^2 ≈ 0.2048.

Итак, вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно три раза, составляет около 0.2048 или около 20.48%.

б) Чтобы найти вероятность того, что стрелок попадет в мишень более четырех раз, мы должны сложить вероятности, что он попадет в мишень ровно пять раз:

P(X > 4) = P(X = 5) = C(5, 5) * 0.8^5 * (1-0.8)^(5-5) = 1 * 0.8^5 * 0.2^0 = 0.8^5 ≈ 0.3277.

Итак, вероятность того, что стрелок попадет в мишень более четырех раз, составляет около 0.3277 или около 32.77%.

в) Чтобы найти вероятность того, что стрелок попадет в мишень менее двух раз, мы должны сложить вероятности, что он попадет в мишень ноль раз и один раз:

P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = C(5, 0) * 0.8^0 * (1-0.8)^(5-0) + C(5, 1) * 0.8^1 * (1-0.8)^(5-1) = 1 * 1 * 0.2^5 + 5 * 0.8 * 0.2^4 ≈ 0.00032 + 0.0256 ≈ 0.0259.

Итак, вероятность того, что стрелок попадет в мишень менее двух раз, составляет около 0.0259 или около 2.59%.

г) Чтобы найти вероятность того, что стрелок попадет в мишень четное число раз, мы должны сложить вероятности, что он попадет ровно ноль раз, два раза и четыре раза:

P(X четное) = P(X = 0) + P(X = 2) + P(X = 4)
= C(5, 0) * 0.8^0 * (1-0.8)^(5-0) + C(5, 2) * 0.8^2 * (1-0.8)^(5-2) + C(5, 4) * 0.8^4 * (1-0.8)^(5-4)
= 1 * 1 * 0.2^5 + 10 * 0.8^2 * 0.2^3 + 5 * 0.8^4 * 0.2^1 ≈ 0.00032 + 0.2048 + 0.2048 ≈ 0.4109.

Итак, вероятность того, что стрелок попадет в мишень четное число раз, составляет около 0.4109 или около 41.09%.

д) Чтобы найти вероятность того, что стрелок попадет в мишень не менее одного раза и не более трех раз, мы должны сложить вероятности, что он попадет в мишень один, два или три раза:

P(1 ≤ X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
= C(5, 1) * 0.8^1 * (1-0.8)^(5-1) + C(5, 2) * 0.8^2 * (1-0.8)^(5-2) + C(5, 3) * 0.8^3 * (1-0.8)^(5-3)
= 5 * 0.8 * 0.2^4 + 10 * 0.8^2 * 0.2^3 + 10 * 0.8^3 * 0.2^2
≈ 0.4096 + 0.4096 + 0.2048 ≈ 1.024.

Итак, вероятность того, что стрелок попадет в мишень не менее одного раза и не более трех раз, составляет около 1.024 или около 102.4%.

е) Чтобы найти вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно три раза или ровно пять раз, мы должны сложить вероятности, что он попадет в мишень три раза и пять раз:

P(X = 3 или X = 5) = P(X = 3) + P(X = 5)
= C(5, 3) * 0.8^3 * (1-0.8)^(5-3) + C(5, 5) * 0.8^5 * (1-0.8)^(5-5)
= 10 * 0.8^3 * 0.2^2 + 1 * 0.8^5 * 0.2^0
≈ 0.2048 + 0.3277 ≈ 0.5325.

Итак, вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно три раза или ровно пять раз, составляет около 0.5325 или около 53.25%.

Таким образом, с использованием формулы биномиального распределения, мы рассчитали вероятности различных событий, связанных с попаданием стрелка в мишень определенное количество раз. Это позволяет нам лучше понять и изучить вероятностные свойства такого эксперимента.