Наибольшее значение функции 11
Пошаговое объяснение:
Стандартный алгоритм нахождения наибольшего значения функции y=f(x) на отрезке [a; b] следующее:
1) находим критические точки функции, которые входят в заданный отрезок [a; b], то есть найдем производную функции f(x) и находим нули производной на отрезке [a; b] (решаем уравнение f '(x)=0);
2) вычислим значения функции f(x) для критических точек из отрезка [a; b] и для граничных значений a и b;
3) ответом будут наибольшее значение среди полученных значений функции.
Дана функция y = 16·tgx–16·x+4·π–5 и отрезок [–π/4; π/4]. Область определения функции cosx≠0.
1) находим критические точки функции:
а) cosx= –1 ⇔ x = π+2·π·n, n∈z
–π/4 ≤ π+2·π·n ≤ π/4 ⇔ –1/4 ≤ 1+2·n ≤ 1/4 ⇔ –1/4–1 ≤ 2·n ≤ 1/4–1 ⇔
⇔ –5/4 ≤ 2·n ≤ –3/4 ⇔ –5/8 ≤ n ≤ –3/8 ⇔ n ∈ ∅
б) cosx= 1 ⇔ x = 2·π·m, m∈z
–π/4 ≤ 2·π·m ≤ π/4 ⇔ –1/4 ≤ 2·m ≤ 1/4 ⇔ –1/8 ≤ m ≤ 1/8 ⇔ m=0.
⇔ –5/4 ≤ 2·n ≤ –3/4 ⇔ –5/8 ≤ n ≤ –3/8 ⇔ n ∈ ∅
2) вычислим значения функции f(x) для критической точки x=0, граничных точек x= –π/4 и x= π/4:
y(–π/4)= 16·tg(–π/4)–16·(–π/4)+4·π–5=16·(–1)+4·π+4·π–5=8·π–21
y(0)= 16·tg0–16·0+4·π–5=16·0–0+4·π–5=4·π–5
y(π/4)= 16·tg(π/4)–16·(π/4)+4·π–5=16·1–4·π+4·π–5=11
Среди найденных значений выбираем наибольшее, то есть:
y(π/4)=11.
