Настенные часы в начале каждого часа бьют столько раз, сколько показывает часовая стрелка, и в середине каждого часа бьют один раз. За последние 120 минут часы ударили 23 раза, а последний раз часы били 15 минут назад. Сколько раз ударят часы за следующие 120 минут?

В правильной пирамиде медиана боковой грани к основанию - это апофема А.

Сторона основания а и основание боковой грани а равны по 1.

Находим апофему: A = 2S/a = 2*1/1 = 2.

По свойству медиан точка М делит апофему в отношении 2:1 от вершины. SM = (2/3)*2 = 4/3, МК = (1/3)*2 = 2/3.

Находим высоту пирамиды: H = √(2² - (1/2)²) = √15/2.

Находим косинус и синус угла α между основанием пирамиды и боковой гранью.

cos α = (1/2)/2 = 1/4, sin α = (√15/2)/2 = √15/4.

Косинус угла при вершине пирамиды (назовём его S) равен:

cos S = (22 + 22 – 12)/(2*2*2) = 7/8, синус равен √(1 – (49/64)) = √15/8.

Проведём два осевых сечения пирамиды перпендикулярно смежным сторонам основания и спроецируем на эти плоскости точки M и N (они даны на прилагаемых рисунках).

Расстояния от точек М и N до граней пирамиды обозначим буквой h.

До основания: h(М) = (1/3) H = (1/3)*(√15/2) = √15/6.

                        h(N) = (3/7) hM = (3/7)*(√15/6) = √15/14.

До грани, содержащую точку М, и противоположную ей.

Высота h2 = SM*sin S = (4/3)*(√15/8) = √15/6.

             h1 = (3/7) h2 = (3/7)*(√15/6) = √15/14.

Высота h4 = a*sin α = 1*(√15/4) = √15/4.

             h3 = (4/7) h4 = (4/7)*(√15/4) = √15/7.

Рассмотрим второе сечение.

Высота h6 = SM3*sin (S/2) = (2/3)*H*((1/2)/2) = (2/3)*(√15/2)*(1/4) = √15/12.

             h5 = (3/7) h6 = (3/7)*(√15/12) = √15/28.

Высота h8 = a*sin α = 1*(√15/4) = √15/4.

Для определения высоты h7 найдём угол φ.

φ = arc tg(M3O/(a/2)) – (90º - arc sin α) = arc tg((√15/6)/(1/2)) – arc sin(√15/4) = arc tg((√15/3) – arc sin(√15/4) = 52,23875609º – (90º - 75,52248781º) =

= 37,76124391º.

cos φ = 0,790569.

Найдём длину проекции отрезка АМ на секущую плоскость SEK по теореме косинусов: AM = √(12 + (2/3)² - 2*1*(2/3)*(1/4)) = √(1 + (4/9) – (1/3)) = √10/3.

Тогда AN = (3/7)AM = (3/7)*( √10/3) = √10/7.

Отсюда h7 = h8 – AN*cos φ = √15/4 – (√15/7)*0,790569 = 0,691604.

Сложим длины всех заданных высот:  

Σh = (√15/14) + (√15/14) + (√15/7) + (√15/28) + 0,691604 = 1,936492.

Арифметическая прогрессия определяется тем, что разность между двумя последовательными членами постоянна.

1. A(n) = 5n+3

Индекс следующего числа будет n+1, а его значение - 5(n+1)+3.
Найдем разность между A(n+1) и A(n):
A(n+1)-A(n) = 5(n+1)+3 - (5n+3) = 5n+5+3-5n-3 = 5

Разность не зависит от n, значит, она постоянна и последовательность является арифметической прогрессией.

2. A(n) = 5 - n/2 (или (5-n)/2 - не принципиально, т.к. сводится к виду 2,5 - n/2, т.е. C - n/2 в общем виде)

A(n+1) = 5 - (n+1)/2 = 5 - 1/2 - n/2

A(n+1)-A(n) = 5 - 1/2 - n/2 - (5 - n/2) = 5 - 1/2 - n/2 - 5 + n/2 = -1/2 - не зависит от n, а значит, постоянна.