Частные производные. 1) Вычислить производные первого порядка.
2) Вычислить du/dt.
3) Вычислить все частные производные второго порядка.
4) Исследовать функцию на экстремум.

1. Площадь квадрата равна длине его стороны, возведённой в квадрат:  , где - это сторона квадрата. Зная площадь, можем вычислить длину стороны: см. Периметр квадрата равен длине его стороны, умноженной на 4:   см.

2. Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его смежных сторон. Пусть см - одна из сторон прямоугольника, а другая сторона на 3 см больше, то есть, см. Составляем уравнение:

Тогда другая сторона его   см.

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон, тогда   см².

3. Для начала найдём вторую сторону прямоугольника. Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его смежных сторон, тогда:

Тогда площадь прямоугольника   см².

Прямоугольник имеет такую же площадь, что и квадрат. Площадь квадрата равна длине его стороны, возведённой в квадрат:  , где - это сторона квадрата. Зная площадь, можем вычислить длину стороны: см. Периметр квадрата равен длине его стороны, умноженной на 4:   см.

Масса первого слитка   х кг
В нем меди  30% = 30/100= 0,3  ⇒ масса меди 0,3х  кг.

Масса второго слитка у кг
В нем меди  70% = 70/100 = 0,7 ⇒ масса меди 0,7у кг

Масса сплава  120 кг
В нем меди  40% = 0,4    ⇒ масса меди (0,4*120) кг

Система уравнений.
{ x+y = 120
{0,3х + 0,7у  = 0,4*120

{х=120 -у
{0,3х +0,7у =48

Метод подстановки.
0,3(120-у) + 0,7у =48
36 - 0,3у +0,7у =48
0,4у = 48-36
0,4у= 12
у=30 (кг)  второго слитка
х=120 - 30 = 90 (кг) первого слитка

ответ:  90 кг  первого слитка и 30 кг второго слитка нужно взять, чтобы получить 120 кг сплава, содержащего  40% меди.