13 група Математика
Тема: Контрольна робота на тему: «Тригонометричні функції».
3
Варіант 1.
Середній рівень
Спростити вираз (1 — 2).
1. 1) cos? 89 + sin' 89; 2) cos? 8° sin?8°,
tg 8° +to 2
3) 1-tg 8"tg 2 : 4) sin 50° - sin 40°.
sir - e-code +а)
2. 1) cos (а+в) + sin a sin p; 2)
3. 1) sin a = 0,6; л <a < 2“. Обчислити: cos a, tg a, sin 20..
2) tg a = 3; 0 <a < 2. Обчислити: cos a, cos a, tg 2а.
Достатній рівень
1. 1ga o<a<3. Обчислити sin a, sin 2а, sin 4а.
2) Обчислити tg15°.
3) Довести, що sin 35° + cos 65° = cos 5°.
Довести тотожність (2 — 3):
ctg(a+a)
- cos a
Р
tg
2.
2
ctg
2
2sin
3 +tga
Cos
11.
3.
Високий рівень
B
sing- cos 50<
1. 1)
5.
2) Звести до тригонометричної функції гострого кута: tg 2005°.
3) Довести, що 2 + 2sin19 2cos1 Р.
sin2а + sins - sina
tg2a
2. Довести тотожність соба + cos2а + coska
sin10 cos20P cosAc
3. Довести, що
8.
​

Разложим (sin(x)^3+cos(x)^3) как сумму кубов, тогда получим (sin(x)+cos(x))*(sin(x)^2-sin(x)*cos(x)+cos(x)^2)=1
По основному тригонометрическому тождеству sin(x)^2+cos(x)^2=1
Получаем: (sin(x)+cos(x))*(1-sin(x)*cos(x))=1
(sin(x)+cos(x))*(1-sin(2x)/2)=1
Скобка (1-sin(2x)/2) всегда положительна, так как синус принимает значения в диапазоне от минус одного до одного, тут он разделен на два, значит диапазон будет от -1/2 до 1/2.
Чтобы произведение равнялось положительной единице от первой скобки требуется принимать тоже положительные значения
Тогда при возведении в квадрат мы получим равносильное уравнение: (sin(x)+cos(x))^2*(1-sin(2x)/2)^2=1
(sin(x)^2+2*sin(x)*cos(x)+cos(x)^2)*(1-sin(2x)/2)^2=1(1+sin(2x))*(1-sin(2x)/2)^2=1Введем замену sin(2x)=t, t принадлежит [-1;1](1+sin(2x))*(1-sin(2x)/2)^2=1(1+t)*(1-t+(t^2)/4)=1Перемножим скобки и получим после приведения подобных, что (t^3)/4-(3*t^2)/4=0
Домножим уравнение на 4 и ввнесем t^2 за скобки: t^2*(t-3)=0t1=0,
t2=3>1 - не подходитЕсли t = 0, то
sin(2x)=0
2x=пk
x=пk/2 , где k принадлежит Z

Разложим числа на простые множители. Сначала запишем разложение на множители самого большого число, затем меньшее число. Подчеркнем в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение наибольшего числа.36 = 2 · 2 · 3 · 3    
32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
 Чтобы определить НОК, необходимо недостающие множители (эти множители подчеркнуты) добавить к множителям большего числа и перемножить их: НОК (32; 36) = 2 · 2 · 3 · 3 · 2 · 2 · 2 = 288

Наименьшее общее кратное::Разложим числа на простые множители. Сначала запишем разложение на множители самого большого число, затем меньшее число. Подчеркнем в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение наибольшего числа.55 = 5 · 11    
14 = 2 · 7
 Чтобы определить НОК, необходимо недостающие множители (эти множители подчеркнуты) добавить к множителям большего числа и перемножить их: НОК (14; 55) = 5 · 11 · 2 · 7 = 770