ответ: 35
Пошаговое объяснение:
Поскольку натуральное число N при делении на a может давать остаток не более чем a-1, то наибольшая сумма остатков от деления на 6, 14 и 21 равна : 5+13+20 = 38, но по условию 38 нам не подходит.
Достаточно легко привести пример такого числа N, чтобы сумма остатков была равна 35.
Например при N = 40 остаток от деления на 6 равен 4, на 14 равен 12, а на 21 равен 19.
4+12+19 = 35.
Пусть хотя бы один из остатков равен 0, но тогда максимально возможная сумма остатков не может быть больше чем 35: 20+13 = 33<35.
Предположим, что сумма остатков может быть равна 36 или 37.
Учитывая вышесказанное, остаток 0 далее рассматривать не будем.
Если она равна 37, то это возможно в том случае, когда два остатка из трех максимально возможны, а третий остаток на 1 меньше максимально возможного, иначе говоря, два из остатков равны -1, а один из остатков равен -2. Например, если остаток от деления 10 на 6 равен 4, то можно сказать, что в отрицательном эквиваленте оно дает при делении на 6 остаток (-2).
Если же сумма равна 36, то либо два из остатков равны -2, а третий - 1, либо два из остатков равны -1, а третий -3.
Как видим, все эти случаи объединяет одно, всегда найдется два числа из чисел 6, 14 и 21, остатки от деления на которые равны, причем третий остаток обязательно будет от них отличен.
Тогда должно быть справедливо хотя бы одно из равенств:
N = 14n-k = 6m-k
N = 14n-k = 21m-k
N =6n-k = 21m-k
Где: N- рассматриваемое натуральное число.
n,m - натуральные числа.
k∈{1;2} - натуральное число.
Учитывая, что k сокращается, то видим три случая:
1)14n = 6m
7n = 3m, отсюда из взаимной простоты 7 и 3 : 7n=3m = 21r r - натуральное число. 14n = 6m = 21r*2 = 21f f - натуральное число.
Но тогда N = 21f - k , то есть дает остаток -k при делении на 21.
То есть при делении на все 3 числа 6, 14 и 21 должен получится один и тот же остаток, что противоречит предположению.
Для остальных двух случаев получаем тоже самое ( из взаимной простоты):
2)14n=21m=6f
3) 21n = 6m = 14f
То есть мы пришли к противоречию.
Получить в сумме 36 или 37 невозможно.
ответ:35
