Группа туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает по жребию 5 человек для приготовления ужина. Сколько существует при которых в эту «пятерку» попадут:

а) одни девушки;

б) 1 юноша и 4 девушки;

в) 3 юноши и 2 девушки;

г) 5 юношей нужна

Давайте решим каждый пункт вопроса по очереди.

а) Для того чтобы в пятерку попали только девушки, нужно выбрать 5 девушек из 7. Для этого воспользуемся формулой сочетаний:
C(7, 5) = 7! / (5!(7-5)!) = 7! / (5!2!) = (7*6*5!) / (5! * (2*1)) = (7*6) / (2*1) = 42 / 2 = 21

Таким образом, существует 21 вариант, при котором в пятерку попадут только девушки.

б) Если в пятерку должен попасть 1 юноша и 4 девушки, то нужно выбрать 1 юношу из 12 и 4 девушки из 7. Используем формулу сочетаний:

C(12, 1) * C(7, 4) = (12! / (1!(12-1)!)) * (7! / (4!(7-4)!)) = (12*11!) / (1! * 11!) * (7*6*5!) / (4! * 3!) = (12 * 7 * 6) / (2 * 1 * 3) = 84

Таким образом, существует 84 варианта, при котором в пятерку попадет 1 юноша и 4 девушки.

в) Для того чтобы в пятерку попали 3 юноши и 2 девушки, нужно выбрать 3 юношей из 12 и 2 девушки из 7. Используем формулу сочетаний:

C(12, 3) * C(7, 2) = (12! / (3!(12-3)!)) * (7! / (2!(7-2)!)) = (12 * 11 * 10!) / (3! * 9!) * (7 * 6!) / (2! * 5!) = (12 * 11 * 10) / (3 * 2 * 1) * (7 * 6) / (2 * 1) = 220 * 21 = 4620

Таким образом, существует 4620 вариантов, при которых в пятерку попадут 3 юноши и 2 девушки.

г) Для того чтобы в пятерку попали 5 юношей, нужно выбрать 5 юношей из 12. Используем формулу сочетаний:

C(12, 5) = 12! / (5!(12-5)!) = 12! / (5! * 7!) = (12 * 11 * 10!) / (5! * 7!) = (12 * 11 * 10) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 792

Таким образом, существует 792 варианта, при которых в пятерку попадут 5 юношей.

Ответы:
а) Существует 21 вариант, при котором в пятерку попадут одни девушки.
б) Существует 84 варианта, при котором в пятерку попадет 1 юноша и 4 девушки.
в) Существует 4620 вариантов, при которых в пятерку попадут 3 юноши и 2 девушки.
г) Существует 792 варианта, при которых в пятерку попадут 5 юношей.