Куб натурального числа n можно представить в виде n слагаемых, образующих арифметическую прогрессию с разностью 2.
Доказательство:
Если n — число нечётное:
Пусть средний член равен n². Тогда сумма членов этой прогрессии равна n² + n² - 2 + n² + 2 + ... = n² + n² + n² + ... (n раз) = n² * n = n³.
Если n — число чётное:
Пусть средние члены (по счёту n/2 и n/2 + 1) равны n²-1 и n²+1. Сумма членов прогрессии равна: n² - 1 + n² + 1 + n² - 3 + n² + 3 + ... = n² + n² + n² + ... (n раз) = n² * n = n³.
Во всех возможных случаях мы смогли представить куб натурального числа в виде n слагаемых, что и требовалось доказать.
Кот Матроскин, Дядя Фёдор, почтальон Печкин и Шарик сели за круглый стол. Перед каждым из них стояла тарелка с 15 бутербродами. Каждую минуту трое съедали бутерброд из своей тарелки, а четвёртый съедал бутерброд из тарелки соседа. Через 6 минут после начала трапезы в тарелке Дяди Фёдора осталось 8 бутербродов. Какое минимальное количество бутербродов могло остаться на тарелке кота Матроскина?
Согласно условию наш кот Матроскин за 4 минуты съест 3 своих бутерброда и 1 украдет у соседа, а также у него съедят еще 2 бутерброда его соседи. Как итог - за 4 минуты у него пропадет 5 бутербродов.
Минимальное количество - это худший вариант развития событий для кота. Таким образом за 5-ую минуту мы должны предположить что он съест свой бутерброд и сосед наведается к нему. Т.е уйдет еще 2.
Итогом будет, что у кота за 5 минут пропаду 5 + 2 = 7 бутербродов. А значит останется 8.
ответ: 8
