Найдите медиану прямоугольного треугольника, проведённую к его гипотенузе, если один из его катетов равен a, а высота, проведённая к гипотенузе равна h.

Катет a с высотой h образуют треугольник, подобный заданному.

Отношение h/a - это косинус угла (пусть А) между этим катетом и высотой, равный углу между вторым катетом и гипотенузой.

Находим синус угла: sin A = √(1 - (h/a)²) = √(a² - h²)/a.

Отсюда выразим гипотенузу Г:

Г = a/sin A = a/(√(a² - h²)/a) = a²/√(a² - h²).

В прямоугольном треугольнике медиана m к гипотенузе равна её половине.

ответ: m = a²/(2√(a² - h²)).