решить теорию вероятности. Пример 2. Стрелок поражает мишень одним выстрелом с вероятностью 0,8. У стрелка 8 патронов, и он делает 8 выстрелов по цели. Найдите вероятность того, что стрелок промахнется:
а) ровно один раз.
б) не более одного раза.
Пример 5. На заводе делают электрические лампочки. В среднем 3% лампочек бракованные. Найдите вероятность того, что в упаковке, в которой 6 лампочек, окажется:
а) ровно три неисправных;
б) более одной неисправной;
Пример 1 . По техническому заданию система ПВО должна поражать летящую цель с вероятностью не менее 0,95. Система с интервалом в несколько секунд выпускает по цели несколько ракет. Известно, что каждая отдельная ракета поражает целб с вероятностью 0,6.
а) Достаточно ли трех ракет, чтобы цель была поражена с вероятностью не менее 0,95?
б) Достаточно ли четырех ракет?

Пример 2:

a) Найдем вероятность того, что стрелок промахнется ровно один раз.

Вероятность промахнуться один раз составляет 0.2 (1 - 0.8). Так как стрелок делает 8 выстрелов, это означает, что он может промахнуться ровно один раз, на любом из восьми выстрелов.

Вероятность промахнуться ровно один раз можно посчитать по формуле биномиального распределения:

P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где n - количество испытаний, k - количество успешных исходов, p - вероятность успешного исхода.

Таким образом, вероятность промахнуться ровно один раз при 8 выстрелах будет равна:

P(X=1) = C(8,1) * 0.2^1 * (1-0.2)^(8-1)

C(8,1) = 8!/[(8-1)! * 1!] = 8

P(X=1) = 8 * 0.2 * 0.8^7

Выполняя вычисления:

P(X=1) ≈ 0.33554432

Таким образом, вероятность того, что стрелок промахнется ровно один раз при восьми выстрелах, составляет примерно 0.3355 или около 33.55%.

б) Найдем вероятность того, что стрелок промахнется не более одного раза.

Для этой вероятности нужно найти сумму вероятностей промахнуться 0 и 1 раз.

P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1)

P(X=0) = C(8,0) * 0.2^0 * (1-0.2)^(8-0) = 1 * 1 * 0.8^8

P(X=1) ≈ 0.33554432, как мы уже посчитали.

Выполняя вычисления:

P(X≤1) = 0.8^8 + 0.33554432 ≈ 0.66383744

Таким образом, вероятность того, что стрелок промахнется не более одного раза из восьми выстрелов, примерно составляет 0.6638 или около 66.38%.

Пример 5:

a) Найдем вероятность того, что в упаковке из 6 лампочек ровно три будут неисправными.

Вероятность каждой лампочки быть неисправной составляет 0.03. Таким образом, вероятность того, что конкретная лампочка будет исправна, составляет 1 - 0.03 = 0.97.

Чтобы в упаковке из 6 лампочек оказались ровно три неисправных, нужно выбрать 3 лампочки из 6, которые будут неисправными.

Вероятность такого события можно посчитать по формуле биномиального распределения:

P(X=3) = C(6,3) * 0.03^3 * (1-0.03)^(6-3)

C(6,3) = 6!/[(6-3)! * 3!] = 6*5*4/(3*2*1) = 20

P(X=3) = 20 * 0.03^3 * 0.97^3

Выполняя вычисления:

P(X=3) ≈ 0.03243456

Таким образом, вероятность того, что в упаковке из 6 лампочек ровно три будут неисправными, примерно составляет 0.0324 или около 3.24%.

б) Найдем вероятность того, что в упаковке из 6 лампочек будет более одной неисправной.

Чтобы найти эту вероятность, вычислим вероятность того, что в упаковке будет 0 и 1 неисправная лампочка и сложим их значения.

P(X>1) = 1 - P(X≤1)

P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1)

P(X=0) = C(6,0) * 0.03^0 * (1-0.03)^(6-0) = 1 * 1 * 0.97^6

P(X=1) = C(6,1) * 0.03^1 * (1-0.03)^(6-1) = 6 * 0.03 * 0.97^5

Выполняя вычисления:

P(X≤1) ≈ 0.880224

P(X>1) ≈ 1 - 0.880224 ≈ 0.119776

Таким образом, вероятность того, что в упаковке из 6 лампочек будет более одной неисправной, примерно составляет 0.1198 или около 11.98%.

Пример 1:

a) Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти вероятность того, что цель будет поражена хотя бы тремя ракетами.

Вероятность того, что ракета попадет в цель составляет 0.6. Таким образом, вероятность того, что ракета не попадет в цель, составляет 1 - 0.6 = 0.4.

Чтобы цель была поражена с вероятностью не менее 0.95, нужно выяснить, какое минимальное количество ракет необходимо выпустить для достижения этой вероятности.

Допустим, что мы хотим найти минимальное количество ракет X, чтобы вероятность поражения цели была не менее 0.95.

P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + ...

Так как P(X=k) = 0.6^k * 0.4^(X-k) и нам нужно найти вероятность, не менее чем 0.95, можно посчитать вероятности для различных значений k (3, 4, 5, ...) и сложить их, пока сумма не будет больше 0.95.

Используя математический программный пакет или таблицу, можно найти, что при X=3 вероятность поражения составляет 0.3456, при X=4 - 0.20736, при X=5 - 0.124416 и т.д.

Суммируя эти вероятности, можно определить минимальное количество ракет:

P(X≥3) ≈ 0.3456 + 0.20736 + 0.124416 + ... ≈ 0.9504

Таким образом, достаточно выпустить три ракеты, чтобы вероятность поражения цели была не менее 0.95.

б) Повторим те же шаги, что и в пункте (а), чтобы узнать, достаточно ли четырех ракет.

P(X≥4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + ...

Используя математический программный пакет или таблицу, найдем, что при X=4 вероятность поражения составляет 0.20736, при X=5 - 0.124416, при X=6 - 0.0746496 и т.д.

Суммируя эти вероятности, можно определить минимальное количество ракет:

P(X≥4) ≈ 0.20736 + 0.124416 + 0.0746496 + ... ≈ 0.5834176

Таким образом, чтобы вероятность поражения цели была не менее 0.95, достаточно выпустить не менее четырех ракет.