Стр 48 номер738 книга: Т. П. Кучер

Корень многочлена (не равного тождественно нулю) над полем k — это элемент  (либо элемент расширения поля k), такой, что выполняются два следующих равносильных условия:Данный многочлен делится на многочлен ;подстановка элемента c вместо x обращает уравнениев тождество.Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.Говорят, что корень  имеет кратность , если рассматриваемый многочлен делится на  и не делится на  Например, многочлен  имеет единственный корень, равный  кратности 2. Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.

Трехзначные числа, большие 600 и цифры записаны в порядке убывания :
654    653    652    651    650
643    642    641    640
632    631    630
621    620
610
Числа оканчивающиеся на 0 кратны 5
Остается 10 чисел

654    653    652    651  
643    642    641  
632    631   
621   

654, 651, 642, 621 кратны 3
Остается  6 чисел

          653    652   
643              641  
632    631   
  
653 при делении на 3 дает остаток 2, 641 при делении на 3 дает остаток 2, 632 при делении на 3 дает остаток 2
Остается три числа
652, 643, 631
652 и 643 при делении на 5 дают соответственно 2 и 3
Остается число
631
631:4=157 ( ост. 3)
Ни одно из данных чисел не подходит.

Рассматриваем следующую серию чисел

765  764    763    762    761
754  753    752    751
743  742    741
732  731
721

Исключаем 765 - кратное 5 , 741- кратно 3, и   все четные.
 Они либо делятся на 4, либо при делении на 4дают в остатке 2
Остается 763, 761, 753, 751, 743, 731,721.

Исключаем 763 , 753, 743 - при делении на 5 дадут в остатке 3

Остается  761,  751,  731, 721
761 даст 2 в остатке при делении на 3
751 даст 3 в остатке при делении на 4
731 при делении на 3 даст в остатке 2

721:3=240( ост.1)
721:4=180(ост.1)
721:5=140(ост.1)

Число 721 удовлетворяет требованиям задачи.

Рассматриваем следующую серию

876      875      874      873      872    871
865      864      863      862      861
854      853      852      851
843      842      841
832      831
821
кратные 5 :  875 и 865
кратны 3: 876, 873, 864, 861, 852, 843, 831
Осталось:
874            872    871
863      862     
854      853            851
842      841
832     
821
874,872, 863, 862,854,853,842,832 при делении на 5 не дадут в остатке 1
Остается
            871           
           851
           841   
           821
871 при делении на 4 дает в остатке 3
851 при делении на 3 дает в остатке 2

841:3=280 ( ост 1)
841:4=210( ост 1)
841:5=168(ост1)

Число 841 удовлетворяет требованиям задачи.

О т в е т. 721  или  841.