- 8,8 + 5 = 1,1 + (-1,1)=
1,4 + (-0,8) =
- 9,9 + 3 =
-50 + 20 =
7,1 + 8,9 =
1,9 + (-1,3)
- 7,7 + 50
6 + (-1,3) =
-3,1 + 9,2 =
-4,6 + 7,5 =
6,2 + (-8,4)=
6+ (-82) =
7,6 +(-4,9)
5,8 + (-20) =
-10,2 + 12 =
-50 + 60=
30 + (-4,4) =
- 3 + 60 =
-2,1 +4,9 =
20 + (-1,5) =
- 4 + 40 =
3,6 + 7,4=
-7,1 +8,9 =​

Пример №1. Дана функция z=z(x,y), точка A(x0,y0) и вектор a. Найти: 
1) grad z в точке А; 2) производную данной функции в точке А в направлении вектора a.Решение. 
z = 5*x^2*y+3*x*y^2
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(1;1)

или

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(6;-8).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.
Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.Пример №2. Даны z=f(x; y), А(х0, у0). 
Найти а) градиент функции z=f(x; y) в точке А. 
б) производную в точке А по направлению вектора а.Пример №3. Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора l(1;2). 
z = ln(sqrt(x^2+y^2))+2^xРешение. 
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.: 

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(1;2). 

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:
 
Для вектора a имеем: 
 
Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.
Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.Пример №4. Дана функция . Найти: 
1) gradu в точке A(5; 3; 0); 
2) производную в точке А в направлении вектора . 
Решение. 
1. . 
Найдем частные производные функции u в точке А. 
;; 
, . 
Тогда  
2. Производную по направлению вектора в точке А находим по формуле 
. 
Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти , найдем единичный вектор  вектора . 
, где . 
Отсюда .Пример №5. Даны функция z=f(x), точка А(х0, у0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора a. 
Решение. 
Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(1;1)

или

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-5).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:
 
Поскольку ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.

Пример №1. Дана функция z=z(x,y), точка A(x0,y0) и вектор a. Найти: 
1) grad z в точке А; 2) производную данной функции в точке А в направлении вектора a.Решение. 
z = 5*x^2*y+3*x*y^2
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(1;1)

или

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(6;-8).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:

Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.
Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.Пример №2. Даны z=f(x; y), А(х0, у0). 
Найти а) градиент функции z=f(x; y) в точке А. 
б) производную в точке А по направлению вектора а.Пример №3. Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора l(1;2). 
z = ln(sqrt(x^2+y^2))+2^xРешение. 
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.: 

Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(1;2). 

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:
 
Для вектора a имеем: 
 
Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает.
Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.Пример №4. Дана функция . Найти: 
1) gradu в точке A(5; 3; 0); 
2) производную в точке А в направлении вектора . 
Решение. 
1. . 
Найдем частные производные функции u в точке А. 
;; 
, . 
Тогда  
2. Производную по направлению вектора в точке А находим по формуле 
. 
Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти , найдем единичный вектор  вектора . 
, где . 
Отсюда .Пример №5. Даны функция z=f(x), точка А(х0, у0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора a. 
Решение. 
Находим частные производные:

Тогда величина градиента равна:

Найдем градиент в точке А(1;1)

или

Модуль grad(z):

Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами:

Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-5).

Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы:

Модуль вектора |a| равен:

тогда направляющие косинусы:

Для вектора a имеем:
 
Поскольку ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.