Пирамида - правильная =>
1. центр описанной сферы лежит на высоте.
2. Углы наклона боковых граней к основанию - равны
рассмотрим треугольник образованный диагональю основания и двумя противоположнымибоковыми ребрами.
Этот треугольник равнобедренный с углом при вершине = 60. Значит уголы при основании = (180-60)/2 = 60 (т.е. треугольник равносторонний). Кроме всего прочего высота этого этого треугольника совпадает с высотой пирамиды, а значит содержит центр сферы.
А это значит что радиус сферы совпадает с радиусом окружности описанной около нашего равностороннего треугольника с ребром 2см
R = 2/sqrt(3)
Пусть О - центр сферы. О лежит на АА1.
Если сфера с центром на АА1 касается ребра ВВ1, то длина ребра А1В1 = R (радиусу сферы)
Точка М делит А1В1 в отношении 4:1, т.е. А1М = 4R/5
ОА1М - прямоугольный треугольник с гипотенузой равной R и катетом А1М = 4R/5
Значит второй катет ОА1 = 3R/5
Сфера касается основания АВС, значит ОА = R
Получаем АА1 = АО + ОА1 = R + 3R/5 = 16
R = 10
АА1 = 16 = h
АВ = 10
Из условия задачи не ясно какова площадь основания АВС (Пусть она будет S)
Тогда объем призмы V = Sh = 16S
Если принять в условии, что призма правильная (а не просто прямая) тогда АВС - равнобедренный треугольник со стороной 10 и площадь его 25sqrt(3)
тогда V = 400sqrt(3)
