Даны три точки пространства: М1 (1,1, 2), М2 (-1, 0, 1), М3 (1,1,1) . Найти:
1. Уравнение плоскости, проходящей через эти три точки;
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим координаты заданных точек и упростим выражение:
x - 1 y - 1 z - 2
(-1) - 1 0 - 1 1 - 2
1 - 1 1 - 1 1 - 2 = 0
x - 1 y - 1 z - 2
-2 -1 -1
0 0 -1 = 0
( x - 1) (-1·(-1)-(-1)·0) - (y - 1) ((-2)·(-1)-(-1)·0) + (z - 2) ((-2)·0-(-1)·0) = 0
1 x - 1 + (-2) y - 1 + 0 z - 2 = 0
x - 2y + 1 = 0.
2. Расстояние от начала координат до плоскости, найденной в п. 1.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу координаты плоскости и начала координат О(0; 0; 0).
d = |1·0 + (-2)·0 + 0·0 + 1| /√(1² + (-2)² + 0²) = |0 + 0 + 0 + 1|/√(1 + 4 + 0) =
= 1/ √5 = √5/ 5 ≈ 0.44721359.
3. уравнение плоскости, проходящей через начало координат, параллельно плоскости, найденной в п. 1.
Уравнение A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 является уравнением плоскости, проходящей через точку 0(0, 0, 0) и параллельной плоскости по п. 1.
1( x - 0) - 2(y - 0) + 0(z - 0) + D = 0.
Так как D=−(Ax0+By0+Cz0) = 0, получаем заданное уравнение:
x - 2y = 0.
