Пример 1. Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
a · [b × с] = 1 2 3 =
1 1 1
1 2 1
= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.
Пример 2. Доказать что три вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 3; 1} и c = {2; 2; 2} компланарны.
Решение: найдем смешанное произведение векторов
a · [b × с] = 1 1 1 =
1 3 1
2 2 2
= 1·2·3 + 1·1·2 + 1·1·2 - 1·2·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 6 + 2 + 2 - 6 - 2 - 2 = 0
ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.
Пример 3. Проверить коллинеарны ли вектора a = {1; 1; 1}, b = {1; 2; 0}, c = {0; -1; 1}, d = {3; 3; 3}.
Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования
( 1 1 1 ) ~
1 2 0
0 -1 1
3 3 3
из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3
~ ( 1 1 1 ) ~ ( 1 1 1 ) ~
1 - 1 2 - 1 0 - 1 0 1 -1
0 -1 1 0 -1 1
3 - 3 3 - 3 3 - 3 0 0 0
к 3-тей строке добавим 2-рую
~ ( 1 1 1 ) ~ ( 1 1 1 )
0 1 -1 0 1 -1
0 + 0 -1 + 1 1 + (-1) 0 0 0
3 - 3 3 - 3 3 - 3 0 0 0
Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.
ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора
№ 1.
1) 184 - 38 = 146 - поровну на два числа;
2) 146 : 2 = 73 - одно число;
3) 73 + 38 = 111 - другое число.
ответ: числа 111 и 73.
№ 2.
Пусть х яблок в одной корзине, тогда 6х яблок в другой. Уравнение:
х + 6х = 98
7х = 98
х = 98 : 7
х = 14 яблок - в одной корзине
6х = 6 · 14 = 84 яблока - в другой
ответ: 14 яблок и 84 яблока.
№ 3.
Пусть х пассажиров - во втором автобусе, тогда (х + 9) пассажиров - в первом автобусе и (х + 9 + 8) пассажиров - в третьем автобусе. Всего 188 пассажиров. Уравнение:
х + х + 9 + х + 9 + 8 = 188
3х = 188 - 8 - 9 - 9
3х = 162
х = 162 : 3
х = 54 пассажира - во втором автобусе
54 + 9 = 63 пассажира - в первом автобусе
63 + 8 = 71 пассажир - в третьем автобусе
ответ: 63, 54 и 71 соответственно.
№ 4.
Пусть х мест в первом зале, тогда 3х мест во втором зале. Всего 460 мест. Уравнение:
х + 3х = 460
4х = 460
х = 460 : 4
х = 115 мест - в первом зале
3х = 3 · 115 = 345 мест - во втором зале
ответ: 115 и 345 мест.
