Дана функция у = x/( x^2 - 1).
1. Разложим знаменатель на множители: y=x/((x-1)(x+1)).
Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R кроме х = 1 и х = -1.
2. Функция f (x) = x/(x2 - 1) непрерывна на всей области определения, кроме точек, в которых она точно не определена (разрыв функции): х = 1 и х = -1.
Область значений функции приведена в пункте 8.
3. Точка пересечения графика функции с осью координат Y:
График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в x/(x2 - 1).
у = 0/(02 - 1) = 0.
Результат: y = 0. Точка: (0; 0).
4. Точки пересечения графика функции с осью координат X:
График функции пересекает ось X при y=0, значит, нам надо решить уравнение:
x/(x2 - 1)= 0
Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с X:
х = 0,
Результат: y=0. Точка: (0; 0).
5. Экстремумы функции:
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y' = (1*(х2 - 1))-2х*х)/(х2 - 1)2,
y' = -(х2 + 1))/(х2 - 1)2 = 0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами (достаточно нулю приравнять числитель): х2 + 1 = 0, х2 = -1.
Результат: нет решения.
Функция не имеет экстремумов.
6. Интервалы возрастания и убывания функции:
С учётом двух точек разрыва функции имеем 3 интервала монотонности функции: (-∞; -1, (-1; 1), (1; ∞).
На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -2 -1 0 1 2
y' = -0,55556 - -1 - -0,55556
Экстремумов нет.
На всех промежутках функция убывает.
7. Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции:
y''=(2x(х2 + 3))/(х2 - 1)3 = 0
Для решения достаточно приравнять нулю числитель уравнения:
2x(х2 + 3) = 0. Множитель в скобках не может быть равен нулю, только х = 0.
Это и есть точка перегиба графика функции.
Интервалы выпуклости, вогнутости.
Находим знаки второй производной на полученных промежутках.
x = -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
y'' = -1,03704 - 7,703704 0 -7,7037 - 1,037037
Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:
Выпуклая на промежутках: (-∞;-1) U (0; 1).
Вогнутая на промежутках: (-1; 0) U (1; +∞).
8. Асимптоты.
Асимтоты бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
а) Вертикальные асимптоты – определены: х = -1 и х = 1.
б) Горизонтальная асимптота у графика функции определяется при нахождении предела функции на бесконечности:
lim┬(x→±∞)〖(x )/(x^2-1)=(x/x^2 )/(x^2/x^2 -1/x^2 )=0/(1-0)=0.〗
Горизонтальная асимптота – это прямая у = 0 (ось Ох) как предел функции.
С учётом того, что у точек разрыва функции её значение стремится к бесконечности, а при аргументе, стремящемся к бесконечности, функция стремится к нулю, определяем область значений функции: у Є (-∞; ∞).
в) наклонных асимптот нет. Функция f(x) имеет наклонную асимптоту y = k x + b тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы k и в в уравнении у = kх + в.
〖 k=lim〗┬( x→±∞)〖(f(x))/x.〗
〖b=lim 〗┬( x→±∞)〖[f(x)-kx].〗
Для данной функции первый из этих пределов равен нулю, поэтому наклонная линия не определяется (она совпадает с горизонтальной асимптотой).
8. Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с соотношений f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем:
f(-x)=(-x)/((-x)^2-1)=-2/(x^2-1)≠f(x)=-f(x).
3начит, функция является нечётной.
Таблица точек
x y
-3.0 -0.375
-2.5 -0.476
-2.0 -0.667
-1.5 -1.2
-1.0 -
-0.5 0.667
0 0
0.5 -0.667
1.0 -
1.5 1.2
2.0 0.667
2.5 0.476
3.0 0.375 .
