Найдите косинус угла между векторами b=6m-n и c=m+3n , если m⊥n, |m|=|n|=1.

ОЧЕНЬ . ​

Для начала, мы знаем, что косинус угла между векторами можно найти с помощью формулы:

cos(θ) = (a • b) / (|a| * |b|)

Где a и b - векторы, • - означает скалярное произведение векторов, |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно.

Дано, что вектор b = 6m - n и вектор c = m + 3n. Также известно, что векторы m и n являются перпендикулярными и имеют длины |m| = |n| = 1.

Для начала, найдем длины векторов b и c.

|b| = √((6m - n) • (6m - n))
= √(36m^2 - 6mn - 6mn + n^2)
= √(36m^2 - 12mn + n^2)

|c| = √((m + 3n) • (m + 3n))
= √(m^2 + 3mn + 3mn + 9n^2)
= √(m^2 + 6mn + 9n^2)

Теперь найдем скалярное произведение векторов b и c.

(b • c) = (6m - n) • (m + 3n)
= 6m • m + 6m • 3n - n • m - n • 3n
= 6m^2 + 18mn - mn - 3n^2
= 6m^2 + 17mn - 3n^2

Теперь запишем полную формулу для нахождения косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (b • c) / (|b| * |c|)

Подставим значения:

cos(θ) = (6m^2 + 17mn - 3n^2) / (√(36m^2 - 12mn + n^2) * √(m^2 + 6mn + 9n^2))

Теперь можем подставить конкретные значения для m и n:

cos(θ) = (6 * 1^2 + 17 * 1 * 1 - 3 * 1^2) / (√(36 * 1^2 - 12 * 1 * 1 + 1^2) * √(1^2 + 6 * 1 * 1 + 9 * 1^2))

Упрощаем выражение:

cos(θ) = (6 + 17 - 3) / (√(36 - 12 + 1) * √(1 + 6 + 9))
= 20 / (√25 * √16)
= 20 / (5 * 4)
= 20 / 20
= 1

Таким образом, косинус угла между векторами b и c равен 1.

Приложение Photomath тебе !