В летнем лагере Кенгуру было предложено 10 задач. За каждый правильный ответ добавляли За каждый неправильный ответ снимали Маша дала ответы на все 10 задач, но получила за это Витя дал ответы на все вопросы, а получил Сколько задач они решили правильно вместе?

Связь между радиусом вписанной окружности r и радиусом описанной окружности R определяется формулой:
, где n- число сторон многоугольника.
Отсюда их соотношение равно:

Отношение площадей кругов равно отношению квадратов их радиусов:

По условию задачи оно равно 0,75 или 3/4.
Получаем 
Значение √3/2 соответствует углу 30°.
Значит, 180°/n = 30°, отсюда n = 180/30 = 6.
Если периметр многоугольника равен 12, а число сторон равно 6, то длина стороны составит a = 12/6 = 2 см.
Радиус описанного круга для шестиугольника R = a = 2 см.
Радиус вписанного круга r = a*(√3/2) = 2*(√3/2) = √3 см.

Пусть количество углов к.
Если центр окружности соединить с концами стороны вписанного тр-ка, то половина угла при вершине равна 180/к
Отношение 
 радиусов вписанной и описанной оружности  :  равно cos( 180/k)
Отношение площадей равно отношению квадратов радиусов сторон,
cos( 180/k)= sqrt(3)/2
Значит 180/k=30 градусов. Следовательно k=6
Периметр   многоугольника   равен 12. Но в правильном шестиугольнике радиус описанной окружности  равен стороне и равен 2. Радиус вписанной окружности равен sqrt(3)
sqrt -  квадратный корень.