Напишите формулу корней квадратного уравнения ax^2+2b1x+c=0, используя дискриминант D1. Решите следующие уравнения с этой формулы: а) 3x^2-32sqrt2x-22=0;
б) 5x^2-70x-11=0.

Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что других решений нет.

Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на , получим уравнение . Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на , имеем . Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.

Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.

подберем нужное значение х:

пусть х = 7, тогда 9 + 7 должно быть равно 14 - не подходит

пусть х = 5, тогда 9 + 5 = 14 - подходит

пусть х = 1, тогда 9 + 1 не равно 14 - не подходит

пусть х = 3, тогда 9 + 3 не равно 14

х = 5

х = 7, 7 + 7 не равно 10 - не подходит

х = 5, 5 + 7 не равно 10 - не подходит

х = 1, 1 + 7 не равно 10 - не подходит

х = 3, тогда 3 + 7 = 10 - подходит

х = 3

х = 7, 7 + 5 не равно 6 - не подходит

х = 5, 5 + 5 не равно 6 - не подходит

х = 1, 1 + 5 = 6 - подходит

х = 3, 3 + 5 не равно 6 - не подходит

х = 7, 7 + 3 не равно 4 - не подходит

х = 5, 5 + 3 не равно 4 - не подходит

х = 1, 1 + 3 = 4 - подходит

х = 3, 3 + 3 не равно 4 - не подходит

х = 1