Поскольку 
, то треугольники MAN и BAC подобны. Значит MN параллелен BC ⇔ BMNC - трапеция. При этом BN и MC - диагонали. В трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, продолжения боковых сторон и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой. Следовательно, AT - медиана треугольника ABC. Заметим, что отношение "расстояний" пройденных точками A и O равно искомому отношению диаметров окружностей, что равно отношению радиусов. Точка T зафиксирована. Спроецируем путь пройденный точкой O на вертикальную ось. Получим длину диаметра окружности. Данный диаметр пропорционален длине отрезка OT. Точка A пройдет весь путь окружности, проекция этого пути равна диаметру описанной окружности. Так как точка O лежит на отрезке AT, то пройденный путь пропорционален диаметру описанной окружности с тем же коэффициентом пропорциональности, что и отношение отрезка OT к соответствующему пути. Получили, что искомое отношение радиусов равно отношению 
. Пусть MB = x, AM = 3x; AN = 3y; NC = y; TC = BT; По теореме Менелая: 
, Значит 
; ответ: 7:1
161) 38 см - периметр прямоугольника ABCD
162) 13,8 см длина прямоугольника
4,6 см ширина прямоугольника
Пошаговое объяснение:
№ 161.
Р ΔВМС = 36,6 см
36,6 : 3 = 12,2 (см) - длина каждой стороны ΔВМС : ВМ, МС и ВС, которая одновременно является длиной прямоугольника ABCD
Р ΔCND = 20,4 см
20,4 : 3 = 6,8 (см) - длина каждой стороны ΔCND: CN, ND и CD, которая одновременно является шириной прямоугольника ABCD
Р АВСD = 2(12,2 + 6,8) = 2 * 19 = 38 см - периметр прямоугольника ABCD
№ 162.
6,8 см - длина стороны квадрата
Р кв. = 4а = 4 *6,8 = 27,2 см - периметр квадрата
27,2 + 9,6 = 36,8 см - периметр прямоугольника
Р прям. = 2(а + b), где Р = 36,8 см, а - длина = 3х см, b - ширина = х см
2(3х + х) = 36,8
8х = 36,8
х = 36,8/8
х = 4,6 (см) ширина прямоугольника
3*4,6 = 13,8 (см) длина прямоугольника
