АТС имеет k линий связи. Поток вызовов - простейший с интенсивностью λ в минуту. Среднее время переговоров составляет t минут. Время переговоров имеет показательное распределение. Найти: а) вероятность того, что все линии связи заняты; б) относительную и абсолютную пропускные АТС; в) среднее число занятых линий связи. Определить оптимальное число линий связи, достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала α.
k = 5; λ = 0.6; t = 3.5, α = 0.04.
Решение. Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:
Интенсивность потока обслуживания:
μ = 1/3.5 = 0.29
1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ • tобс = 0.6 • 3.5 = 2.1
Интенсивность нагрузки ρ=2.1 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 13% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 7.5 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p1 = ρ1/1! p0 = 2.11/1! • 0.13 = 0.26
заняты 2 канала:
p2 = ρ2/2! p0 = 2.12/2! • 0.13 = 0.28
заняты 3 канала:
p3 = ρ3/3! p0 = 2.13/3! • 0.13 = 0.19
заняты 4 канала:
p4 = ρ4/4! p0 = 2.14/4! • 0.13 = 0.1
заняты 5 канала:
p5 = ρ5/5! p0 = 2.15/5! • 0.13 = 0.0425 (вероятность того, что все линии связи заняты)
4. Доля заявок, получивших отказ.

Значит, 4% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок.
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
pотк + pобс = 1
Относительная пропускная обс.
pобс = 1 - pотк = 1 - 0.0425 = 0.96
Следовательно, 96% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число занятых линий связи
nз = ρ • pобс = 2.1 • 0.96 = 2.01 линии.
Среднее число простаивающих каналов.
nпр = n - nз = 5 - 2.01 = 3 канала.
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.
K3 = n3/n = 2.01/5 = 0.4
Следовательно, система на 40% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная
A = pобс • λ = 0.96 • 0.6 = 0.57 заявок/мин.
9. Среднее время простоя СМО.
tпр = pотк • tобс = 0.0425 • 3.5 = 0.15 мин.
12. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lобс = ρ • Q = 2.1 • 0.96 = 2.01 ед.
Для определения оптимального число линий связи, достаточное для того, чтобы вероятность отказа не превышала 0.04, воспользуемся формулой:

Для наших данных:

где 
Подбирая количество линий связей, находим, что при k=6, pотк = 0.0147 < 0.04, p0 = 0.12
Скачать решение
1. Коммерческая фирма занимается посреднической деятельностью по продаже автомобилей и осуществляет часть переговоров по 3 телефонным линиям. В среднем поступает 75 звонков в час. Среднее время предварительных переговоров справочного характера составляет 2 мин.
Однажды барон Мюнхгаузен посетил остров, на котором росли огуречные деревья. Плоды этих деревьев - единственная пища жителей острова. Мюнхгаузен наблюдал, как муж с женой собирали урожай огурцов. Муж собрал 12 корзин огурцов, жена - 8 таких же корзин, причем муж собрал на 40 килограммов (кг) больше. Сколько килограммов огурцов собрал муж? Сколько жена?
Очень нужно, правда!
Решение
1) узнаем на сколько корзин собрал больше муж чем жена:
12 - 8 = 4 корзины
2) узнаем сколько килограммов огурцов в одной корзине:
40/4=10 кг
3) узнаем сколько кг собрал муж:
12*10=120 кг
4) узнаем сколько кг собрала жена:
8*10=80 кг
